Законы распределения погрешности измерений и измерительных величин. Нормальный закон распределения. Закон Гауса

При повторных измерениях одной физической величины возникают систематические и случайные погрешности измерений.

Систематическая погрешность измерения – погрешность, которая при повторном измерении одной физической величины остается постоянной или изменяется по известному закону.

При измерениях одной физической величины систематическую погрешность можно искать, вводя поправку или кривую поправку (мы измеряем направление 1В образцовым вольтметром, а с помощью рабочих средств измерений мы получаем 0,99В).

Если мы измеряем несколько величин, исключ систематическая погрешность представляет сложную работу.

Случайной погрешностью называется погрешность, которая при повторном измерении однообразных величин изменяет случайным образом. Случайную погрешность исключить нельзя. Её можно только уменьшить, увеличив число измерений.

Наиболее достоверным результатом измерения является его среднее арифметическое значение.

Раздельное определение систематической и случайной погрешностей позволяет изменить влияние составления этих погрешностей на результат погрешности измерений.

Случайная погрешность норм. закона или Закону Гауса.

– плотность, появление случайной погрешности, в ряду многократных измерений.

- средний квадрат погрешности или средний квадрат отклонения измерений. СКО ряда многократных измерений.

– случайная погрешность, которая возникает в ряду многократных измерений.

Если известен закон распределения погрешностей, то можно определить, где возникает случайный (доверительный) интервал.

Существует графическая форма представления Закона Гауса:

С точки зрения метрологии смысл каждой точки Закона Гауса состоит в том, что случайная погрешность – вероятность ее появления в соответствии с Законом Гауса (±3 ). Т.е. случайная погрешность в измерительном интервале ±3 .

Доверительной – называется величина, которая характеризует появление случайной погрешности на заданном интервале.

Для того, чтобы понять физическое значение необходимо построить как минимум 2, задавшись значениями средней погрешности.

G=10% G=1%

Анализируя зависимости 1 и 2 мы можем сказать, что зависимость 1 имеет (чем больше среднее квадратное отклонение, тем чаще в ряду многократных измерений равновероятно появление, как малых, так и больших значений случайной погрешности измерений).

Анализируя 2, чем меньше тем чаще в ряду многократных измерений вероятность появления малых значений погрешности.

МОС 8.207-76 регламентирует представление средне-квадратной погрешности или средне-квадратного отклонения через случайные текущие погрешности.

При этом

– результаты конкретных измерений измеряемой величины.

А – действительное значение измеряемой величины.

(4), (5), (6) имеют отношение к абсолютным погрешностям измерений (абсолютные случайные текущие погрешности).

Относительные случайные текущие погрешности

В литературе можно увидеть Закон Гауса:

n→∞; A→A_cp (действительное значение стремится к средне-арифметическому).

ГОСТ 8.207-76 регламентирует включать результаты многократных измерений в доверительный интервал измеряемой величины с учетом таблиц коэффициента STUDENTа при заданной доверительной вероятности Р.

	n	0,90	0,95	0,98	0,99	0,999
		2,290	12,71	6,965	9,925	31,598
		2,353	4,30	4,541	5,841	12,941
		2,132	3,18	3,747	4,604	8,610
		2,015	2,77	3,965	4,032	6,859
		1,943	2,57	3,143	3,707	5,859
		1,895	2,45	2,298	3,499	5,405
		1,860	2,36	2,896	3,355	5,041
		1,833	2,31	2,821	3,250	4,721
		1,812	2,26	2,764	3,169	4,597

Например, при доверительной вероятности и числе измерений ,коэффициентом стьюдента , при этом доверительный интервал измерений ф.в. выглядит:

– дисперсия, которая показывает разброс ф.в. по отношению к среднему арифметическому значению в обе стороны. А при включении результата измерений ф.в. включ. В доверительный интервал.

А – среднее арифметическое.

ГОСТ 8.207-76 регламентирует представление СКО, ряда измерений и результата измерений через относительно разносные случайные погрешности измерений – .

- среднеквадратическая погрешность ряда многократных измерений.

- СКО результат многократных измерений.

Пример: пусть проведены 6 измерений толщины пластины, штанине циркулем (при одинаковых условиях), при этом получаются следующие шележные значения результатов измерений.

Доверительная вероятность . Найти абсолютную погрешность отдельных измерений СКО, а затем включить результат многократных измерений в доверительный интервал измерительной величины.

Решение:

1) Найдем среднее арифметическое значение толщины пластины:

2) Найти абсолютную погрешность отдельных измерений

3) Определим СКО результатом многократных отклонений

4) Включим в результат многократных измерений в доверительный интервал измерения величины.

При числе измерений .

Существует также промах в измерениях (грубая погрешность или ошибка). Как правило значение промаха исключительно из результата многократных наблюдений. В соответствии с теорией вероятности считают, что ошибка в 2G возникает при 22-х измер.; ошибка в 3G возникает при 376 измер. и ошибка в 4G возникает в 15625 измер. Поэтому наиболее вероятна ошибка в 2G.

Таким образом, смысл нормального закона распределения погрешности измерений (например, случайных состоит в том, что если мы хотим уменьшить погрешность измерений в 10 раз, нам необходимо увеличить число измерений в 100 раз ()).