Критерий Колмогорова

Этот критерий применяется для проверки простой гипотезы Н ₀ о том, что независимые одинаково распределенные случайные величины Х ₁, Х ₂, …, Х_п имеют заданную непрерыв-ную функцию распределения F (x).

Найдем функцию эмпирического распределения F_n (x) и будем искать границы двусторон-ней критической области, определяемой условием

. (20.3)

А.Н.Колмогоров доказал, что в случае справедливости гипотезы Н ₀ распределение статистики D_n не зависит от функции F (x), и при

где - (20.4)

- критерий Колмогорова, значения которого можно найти в соответствующих таблицах. Критическое значение критерия λ_п (α) вычисляется по заданному уровню значимости α как корень уравнения .

Можно показать, что приближенное значение вычисляется по формуле

,

где z – корень уравнения

На практике для вычисления значения статистики D_n используется то, что

, где

а - вариационный ряд, построенный по выборке Х ₁, Х ₂, …, Х_п.

Можно дать следующее геометрическое истолкование критерия Колмогорова: если изобразить на плоскости О ху графики функций F_n (x), F_n (x) ±λ _n (α) (рис. 1), то гипотеза Н ₀ верна, если график функции F (x) не выходит за пределы области, лежащей между графиками функций F_n (x) -λ _n (α) и F_n (x) +λ _n (α).

х