Анализ основных свойств линейных САУ

typedef struct {

unsigned long r1,r2,r3; } a5_ctx;

static int threshold(r1, r2, r3)

unsigned int r1;

unsigned int r2;

unsigned int r3;

{

int total;

total = (((r1 >> 9) & 0x1) == 1) + (((r2 >> 11) & 0x1) == 1) + (((r3 >> 11) & 0x1) == 1);

if (total > 1)

return (0); else

return (1); }

unsigned long clock_r1(ctl, r1)

int ctl;

unsigned long r1;

{

unsigned long feedback;

ctl ^= ((r1 >> 9) & 0x1);

if (ctl)

{

feedback = (r1 >> 18) ^ (r1 >> 17) ^ (r1 >> 16) ^ (r1 >> 13);

r1 = (r1 << 1) & 0x7ffff;

if (feedback & 0x01) r1 ^= 0x01; }

return (r1); }

unsigned long clock_r2(ctl, r2)

int ctl;

unsigned long r2;

{

unsigned long feedback;

ctl ^= ((r2 >> 11) & 0x1);

if (ctl)

{

feedback = (r2 >> 21) ^ (r2 >> 20) ^ (r2 >> 16) ^ (r2 >> 12);

r2 = (r2 << 1) & 0x3fffff;

if (feedback & 0x01) r2 ^= 0x01; }

return (r2); }

unsigned long clock_r3(ctl, r3)

int ctl;

unsigned long r3;

{

unsigned long feedback;

ctl ^= ((r3 >> 11) & 0x1);

if (ctl)

{

feedback = (r3 >> 22) ^ (r3 >> 21) ^ (r3 >> 18) ^ (r3 >> 17);

r3 = (r3 << 1) & 0x7fffff;

if (feedback & 0x01) r3 ^= 0x01; }

return (r3); }

int keystream(key, frame, alice, bob)

unsigned char *key; /* 64 bit session key */

unsigned long frame; /* 22 bit frame sequence number */

unsigned char *alice; /* 114 bit Alice to Bob key stream */

unsigned char *bob; /* 114 bit Bob to Alice key stream */

{

unsigned long r1; /* 19 bit shift register */

unsigned long r2; /* 22 bit shift register */

unsigned long r3; /* 23 bit shift register */

int i; /* counter for loops */

int clock_ctl; /* xored with clock enable on each shift register */

unsigned char *ptr; /* current position in keystream */

unsigned char byte; /* byte of keystream being assembled */

unsigned int bits; /* number of bits of keystream in byte */

unsigned int bit; /* bit output from keystream generator */

/* Initialise shift registers from session key */

r1 = (key[0] | (key[1] << 8) | (key[2] << 16)) & 0x7ffff; r2 = ((key[2] >> 3) | (key[3] << 5) | (key[4] << 13) | (key[5] << 21)) & 0x3fffff;

r3 = ((key[5] >> 1) | (key[6] << 7) | (key[7] << 15)) & 0x7fffff;

/* Merge frame sequence number into shift register state, by xor'ing it

* into the feedback path
*/

for (i=0;i<22;i++) {

clock_ctl = threshold(r1, r2, r2); r1 = clock_r1(clock_ctl, r1); r2 = clock_r2(clock_ctl, r2); r3 = clock_r3(clock_ctl, r3); if (frame & 1) {

r1 ^= 1; r2 ^= 1; r3 ^= 1; }

frame = frame >> 1; }

/* Run shift registers for 100 clock ticks to allow frame number to

* be diffused into all the bits of the shift registers
*/

for (i=0;i<100;i++) {

clock_ctl = threshold(r1, r2, r2);

r1 = clock_r1(clock_ctl, r1);

r2 = clock_r2(clock_ctl, r2);

r3 = clock_r3(clock_ctl, r3); }

/* Produce 114 bits of Alice->Bob key stream */

ptr = alice;

bits = 0;

byte = 0;

for (i=0;i<114;i++)

{

clock_ctl = threshold(r1, r2, r2);

r1 = clock_r1(clock_ctl, r1);

r2 = clock_r2(clock_ctl, r2);

r3 = clock_r3(clock_ctl, r3);

bit = ((r1 >> 18) ^ (r2 >> 21) ^ (r3 >> 22)) & 0x01;

byte = (byte << 1) | bit;

bits++;

if (bits == 8) {

*ptr = byte;

ptr++;

bits = 0;

byte = 0; } } if (bits)

*ptr = byte;

/* Run shift registers for another 100 bits to hide relationship between * Alice->Bob key stream and Bob->Alice key stream. */

for (i=0;i<100;i++) {

clock_ctl = threshold(r1, r2, r2);

r1 = clock_r1(clock_ctl, r1);

r2 = clock_r2(clock_ctl, r2);

r3 = clock_r3(clock_ctl, r3); }

/* Produce 114 bits of Bob->Alice key stream */

ptr = bob;

bits = 0;

byte = 0;

for (i=0;i<114;i++)

{

clock_ctl = threshold(r1, r2, r2);

r1 = clock_r1(clock_ctl, r1);

r2 = clock_r2(clock_ctl, r2);

r3 = clock_r3(clock_ctl, r3);

bit = ((r1 >> 18) ^ (r2 >> 21) ^ (r3 >> 22)) & 0x01;

byte = (byte << 1) | bit;

bits++;

if (bits == 8)

{

*ptr = byte;

ptr++;

bits = 0;

byte = 0; } } if (bits)

*ptr = byte;

return (0);

}

void a5_key(a5_ctx *c, char *k){

c->r1 = k[0]<<11|k[1]<<3 | k[2]>>5; /* 19 */
c->r2 = k[2]<<17|k[3]<<9 | k[4]<<1 | k[5]>>7; /* 22 */
c->r3 = k[5]<<15|k[6]<<8 | k[7]; /* 23 */

}

/* Step one bit in A5, return 0 or 1 as output bit. */ int a5_step(a5_ctx *c){ int control;

control = threshold(c->r1,c->r2,c->r3); c->r1 = clock_r1(control,c->r1); c->r2 = clock_r2(control,c->r2); c->r3 = clock_r3(control,c->r3); return((c->r1^c->r2^c->r3)&1); }

/* Encrypts a buffer of len bytes. */

void a5_encrypt(a5_ctx *c, char *data, int len){

int i,j;

char t;

for(i=0;i<len;i++){

for(j=0;j<8;j++) t = t<<1 | a5_step(c);

data[i]^=t; } }

void a5_decrypt(a5_ctx *c, char *data, int len){

a5_encrypt(c,data,len); }

void main(void){ a5_ctx c; char data[100];

char key[] = {1,2,3,4,5,6,7,8}; int i,flag;

for(i=0;i<100;i++) data[i] = i;

a5_key(&c,key); a5_encrypt(&c,data,100);

a5_key(&c,key);

a5_decrypt(&c,data,1);

a5_decrypt(&c,data+1,99);

flag = 0;

for(i=0;i<100;i++) if(data[i]!=i)flag = 1;

if(flag)printf("Decrypt failed\n"); else printf("Decrypt succeeded\n"); }

SEAL

#undef SEAL_DEBUG

#define ALG_OK 0

#define ALG_NOTOK 1

#define WORDS_PER_SEAL_CALL 1024

typedef struct {

unsigned long t[520]; /* 512 rounded up to a multiple of 5 + 5*/ unsigned long s[265]; /* 256 rounded up to a multiple of 5 + 5*/ unsigned long r[20]; /* 16 rounded up to multiple of 5 */ unsigned long counter; /* 32-bit synch value. */ unsigned long ks_buf[WORDS_PER_SEAL_CALL]; int ks_pos; } seal_ctx;

#define R0T2(x) (((x)» 2) | ((x) «30))

#define ROT9(x) (((x)» 9) | ((x) «23))

#define ROT8(x) (((x)» 8) | ((x) «24))

#define ROT16(x) (((x)» 16) | ((x) «16))

#define ROT24(x) (((x)» 24) | ((x) «8))

#define ROT27(x) (((x)» 27) | ((x) «5))

#define WORD(cp) ((cp[0] << 24)|(cp[l] << 16)|(cp[2] << 8)|(cp[3]))

#define Fl(x, y, z) (((x) & (y)) | ((~(x)) & (z)))

tdefme F2(x, y, z) ((x) ^л (у) ^л (z))

#define F3(x, y, z) (((x) & (y)) | ((x) & (z)) | ((y) & (z)))

tdefme F4(x, y, z) ((x) ^л (у) ^л (z))

int g(in, i, h) unsigned char *in; int i;

unsigned long *h; {

unsigned long hO; unsigned long hi; unsigned long h2; unsigned long h3; unsigned long h4; unsigned long a; unsigned long b; unsigned long c; unsigned long d; unsigned long e; unsigned char *kp; unsigned long w[80]; unsigned long temp;

kp = in;

hO = WORD(kp); kp += 4;

hi = WORD(kp); kp += 4;

h2 = WORD(kp); kp += 4;

h3 = WORD(kp); kp += 4;

h4 = WORD(kp); kp += 4;

w[0] = i;

for (i=l;i<16;i++)

w[i] = 0; for (i=16;i<80;i++)

w[i] = w[i-3]^Aw[i-8]^Aw[i-14]^Aw[i-16];

a = hO;

b = hi;

с = h2;

d = h3;

e = h4;

for (i=0;i<20;i++) {

temp = ROT27(a) + Fl(b, c, d) + e + w[i] + 0x5a827999;

e = d;

d = c;

с = ROT2(b);

b = a;

a = temp; }

}

for (i=20;i<40;i++) {

temp = ROT27(a) + F2(b, c, d) + e + w[i] + 0x6ed9ebal;

e = d;

d = c;

с = R0T2(b);

b = a;

a = temp; }

for (i=40;i<60;i++) {

temp = ROT27(a) + F3(b, c, d) + e + w[i] + 0x8flbbcdc;

e = d;

d = c;

с = R0T2(b);

b = a;

a = temp; }

for (i=60;i<80;i++) {

temp = ROT27(a) + F4(b, c, d) + e + w[i] + 0xca62cld6;

e = d;

d = c;

с = R0T2(b);

b = a;

a = temp; }

h[0] = hO+a; h[l] = hl+b; h[2] = h2+c; h[3] = h3+d; h[4] = h4+e;

return (ALG_OK);

unsigned long gamma(a, i)

unsigned char *a;

int i;

{

unsigned long h[5];

(void) g(a, i/5, h); return h[i % 5]; }

int seal_init(seal_ctx *result, unsigned char *key)

{

int i;

unsigned long h[5];

for (i=0;i<510;i+=5)

g(key, i/5, &(result->t[i])); /* horrible special case for the end */ g(key, 510/5, h); for (i=510;i<512;i++)

result->t[i] = h[i-510]; /* 0x1000 mod 5 is +1, so have horrible special case for the start */ g(key, (-1+0x1000)/5, h); for (i=0;i<4;i++)

result->s[i] = h[i+1]; for (i=4;i<254;i+=5)

g(key, (i+0x1000)/5, &(result->s[i])); /* horrible special case for the end */ g(key, (254+0x1000)/5, h); for (i=254;i<256;i++)

result->s[i] = h[i-254]; /* 0x2000 mod 5 is +2, so have horrible special case at the start */ g(key, (-2+0x2000)/5, h); for (i=0;i<3;i++)

result->r[i] = h[i+2]; for (i=3;i<13;i+=5)

g(key, (i+0x2000)/5, &(result->r[i])); /* horrible special case for the end */ g(key, (13+0x2000)/5, h); for (i=13;i<16;i++)

result->r[i] = h[i-13]; return (ALG_OK); }

int seal(seal_ctx *key, unsigned long in, unsigned long *out)

{

int i;

int j;

int l;

unsigned long a;

unsigned long b;

unsigned long c;

unsigned long d;

unsigned short p;

unsigned short q;

unsigned long n1;

unsigned long n2;

unsigned long n3;

unsigned long n4;

unsigned long *wp;

wp = out;

for (l=0;l<4;l++) {

a = in ^ key->r[4*l];

b = ROT8(in) ^ key->r[4*l+1];

c = ROT16(in) ^ key->r[4*l+2];

d = ROT24(in) ^ key->r[4*l+3];

for (j=0;j<2;j++) {

p = a & 0x7fc;

b += key->t[p/4];

a = ROT9(a);

p = b & 0x7fc; c += key->t[p/4]; b = ROT9(b);

p = c & 0x7fc; d += key->t[p/4]; c = ROT9(c);

p = d & 0x7fc; a += key->t[p/4]; d = ROT9(d);

}

n1 = d; n2 = b; n3 = a; n4 = c;

p = a & 0x7fc; b += key->t[p/4]; a = ROT9(a);

p = b & 0x7fc; c += key->t[p/4]; b = ROT9(b);

p = c & 0x7fc; d += key->t[p/4]; c = ROT9(c);

p = d & 0x7fc; a += key->t[p/4]; d = ROT9(d);

/* This generates 64 32-bit words, or 256 bytes of keystream. */ for (i=0;i<64;i++) {

p = a & 0x7fc;

b += key->t[p/4];

a = ROT9(a);

b ^= a;

q = b & 0x7fc; c ^= key->t[q/4]; b = ROT9(b); c += b;

p = (p+c) & 0x7fc; d += key->t[p/4]; c = ROT9(c); d ^= c;

q = (q+d) & 0x7fc; a ^= key->t[q/4]; d = ROT9(d); a += d;

p = (p+a) & 0x7fc; b ^= key->t[p/4]; a = ROT9(a);

q = (q+b) & 0x7fc; c += key->t[q/4]; b = ROT9(b);

p = (p+c) & 0x7fc; d ^= key->t[p/4]; c = ROT9(c);

q = (q+d) & 0x7fc; a += key->t[q/4]; d = ROT9(d);

*wp = b + key->s[4*i];

wp++;

*wp = c ^ key->s[4*i+1];

wp++;

*wp = d + key->s[4*i+2];

wp++;

*wp = a ^ key->s[4*i+3];

wp++;

if (i & 1) {

a += n3;

c += n4; }

else {

a += n1;

c += n2; }

} }

return (ALG_OK); }

/* Added call to refill ks_buf and reset counter and ks_pos. */ void seal_refill_buffer(seal_ctx *c){

seal(c,c->counter,c->ks_buf);

c->counter++;

c->ks_pos = 0; }

void seal_key(seal_ctx *c, unsigned char *key){

seal_init(c,key);

c->counter = 0; /* By default, init to zero. */

c->ks_pos = WORDS_PER_SEAL_CALL;

/* Refill keystream buffer on next call. */ }

/* This encrypts the next w words with SEAL. */ void seal_encrypt(seal_ctx *c, unsigned long *data_ptr, int w){ int i;

for(i=0;i<w;i++){

if(c->ks_pos>=WORDS_PER_SEAL_CALL) seal_refill_buffer(c);

data_ptr[i]^=c->ks_buf[c->ks_pos];

c->ks_pos++; } }

void seal_decrypt(seal_ctx *c, unsigned long *data_ptr, int w) {

seal_encrypt(c,data_ptr,w); }

void seal_resynch(seal_ctx *c, unsigned long synch_word){

c->counter = synch_word;

c->ks_pos = WORDS_PER_SEAL_CALL; }

void main(void){

seal_ctx sc;

unsigned long buf[1000],t;

}

int i,flag;

unsigned char key[] =

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19};

printf("1\n"); seal_key(&sc,key);

printf("2\n");

for(i=0;i<1000;i++) buf[i]=0;

printf("3\n");

seal_encrypt(&sc,buf,1000);

printf("4\n");

t = 0;

for(i=0;i<1000;i++) t = t ^ buf[i];

printf("XOR of buf is %08lx.\n",t);

seal_key(&sc,key);

seal_decrypt(&sc,buf,1);

seal_decrypt(&sc,buf+1,999);

flag = 0;

for(i=0;i<1000;i++) if(buf[i]!=0)flag=1;

if(flag) printf("Decrypt failed.\n");

else printf("Decrypt succeeded.\n");

Анализ основных свойств линейных САУ

2.4.1 Анализ устойчивости САУ

2.4.1.1 Основные понятия

Устойчивость – это свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо возмущающего воздействия.

На рисунках 2.37 и 2.38 показаны типичные кривые переходных процессов соответственно в неустойчивой и устойчивой системах. Если система неустойчива, то достаточно любого возмущающего воздействия, чтобы в ней начался расходящийся процесс ухода из исходного установившегося состояния. Этот процесс может быть апериодическим (кривая 1) или колебательным (кривая 2). В случае устойчивой системы (рисунок 2.38) переходный процесс, вызванный возмущающим воздействием, со временем затухает апериодически (кривая 1) или колебательно (кривая 2), и система вновь возвращается в исходное установившееся состояние. Таким образом, устойчивую систему можно определить как систему, переходные процессы в которой являются затухающими.

Оценка устойчивости есть оценка принципиальной способности осуществлять регулирование, поэтому с оценки устойчивости и начинают исследование всякой САУ. Появление неустойчивости при желаемом изменении какого-либо параметра системы (например, при увеличении передаточного коэффициента) часто ограничивает возможности повышения качества регулирования.

Об устойчивости САУ судят по решению ее дифференциального уравнения (2.5), которое можно записать в виде

y (t) = y уст(t) + y п(t),

где y уст(t) – частное решение неоднородного дифференциального уравнения (2.5), описывающее вынужденный режим системы, устанавливающийся после окончания переходного процесса;

y п(t) – общее решение однородного дифференциального уравнения, описывающее переходный процесс в САУ, вызванный управляющим (задающим) или возмущающим воздействием.

Иногда y уст(t) и y п(t) называют соответственно вынужденной и переходной составляющими.

САУ называют устойчивой, если с течением времени переходная составляющая стремится к нулю, т.е. y п(t) ® 0 при t ® ¥. Переходную составляющую y п(t) находят решением характеристического уравнения системы и записывают в следующем виде:

, (2.107)

где Ci – постоянные интегрирования, определяющиеся НУ;

pi – корни характеристического уравнения (2.7). Их называют также полюсами основной ПФ системы управления F(s).

Таким образом, переходный процесс описывают суммой составляющих, количество которых определяется количеством корней pi характеристического уравнения, т.е. порядком уравнения САУ.

Корни характеристического уравнения определяются только видом самого уравнения, т.е. только видом левой части ДУ системы (2.5). Постоянные интегрирования определяются также и правой частью ДУ системы (2.5). В связи с этим скорость затухания и форма переходного процесса определяются как левой, так и правой частями исходного ДУ. Однако для оценки устойчивости САУ достаточно установить факт затухания переходного процесса. При этом скорость затухания и форма переходного процесса значения не имеют. Поэтому устойчивость линейной САУ не зависит от вида правой части ДУ системы (2.5) и определяется только характеристическим уравнением (2.7). Более того, для оценки устойчивости САУ нет необходимости решать характеристическое уравнение и вычислять его корни. Достаточно определить основные свойства корней.

В общем случае корни pi являются комплексными. При этом они образуют пары сопряженных корней: pi, i +1= a i ± j b i, где a i может быть положительным или отрицательным числом. Каждая такая пара корней дает в выражении (2.107) составляющую переходного процесса вида

,

представляющую собой синусоиду с амплитудой, изменяющейся во времени по экспоненте. При этом, если a i < 0, эта составляющая затухает (кривая 2 на рисунке 2.38). Наоборот, при a i > 0 колебания будут расходящимися (кривая 2 на рисунке 2.37). В частном случае, когда b i = 0, характеристическое уравнение имеет действительный корень pi = a i. Соответствующая ему составляющая переходного процесса изменяется по экспоненциальному закону, затухая или увеличиваясь (кривая 1 на рисунке 2.37) в зависимости от знака a i.

Итак, в общем случае переходный процесс САУ состоит из колебательных и апериодических составляющих. Общим условием затухания всех составляющих, а значит, и всего переходного процесса в целом является отрицательный знак действительных частей всех корней характеристического уравнения САУ, т.е. всех полюсов (нулей знаменателя) ее ПФ. Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, он даст расходящуюся составляющую переходного процесса и система будет неустойчивой. Наличие пары сопряженных чисто мнимых корней pi, i +1 = ± j b i даст незатухающую гармоническую составляющую переходного процесса. При этом в САУ устанавливаются незатухающие колебания с частотой b i. Этот случай является граничным между устойчивостью и неустойчивостью – САУ при этом находится на границе устойчивости.

При изображении корней характеристического уравнения на комплексной плоскости (рисунок 2.3) условие устойчивости линейной САУ формулируют так: условием устойчивости САУ является расположение всех корней ее характеристического уравнения, т.е. полюсов ПФ системы, в левой комплексной полуплоскости или, короче, все корни должны быть "левыми".

Таким образом, мнимая ось представляет собой граничную линию в плоскости корней, за которой не должны находиться корни характеристического уравнения. Вся левая полуплоскость представляет собой при этом область устойчивости. В связи с этим мнимую ось называют границей устойчивости. Теоретически САУ может находиться на границе устойчивости при наличии:

1) нулевого корня;

2) пары сопряженных мнимых корней;

3) бесконечно большого корня.

Остальные корни должны иметь отрицательные действительные части.

Принципиальная особенность оценки устойчивости реальной САУ заключается в том, что при этом исследуется линейная математическая модель системы. Так как ни одна реальная САУ не является строго линейной, линейную ММ получают линеаризацией реальных характеристик и уравнений САУ (см. п. 2.1.1.5). При разложении в ряд Тейлора удерживают в уравнении линейные члены и отбрасывают члены высших порядков, которые для малых отклонений считают пренебрежимо малыми. Полученные линеаризованные уравнения называют уравнениями первого приближения. Принципиальная возможность оценки устойчивости реальной (нелинейной) САУ по уравнениям первого приближения доказана А.М.Ляпуновым, сформулировавшим условия устойчивости в следующих теоремах:

1) если характеристическое уравнение линеаризованной САУ имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то реальная система будет также устойчива, т.е. малые нелинейные члены не могут в этом случае нарушить устойчивость САУ;

2) если характеристическое уравнение линеаризованной САУ имеет хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то реальная система будет также неустойчивой, т.е. малые нелинейные члены не могут сделать ее устойчивой;

3) при наличии нулевых и чисто мнимых корней поведение реальной САУ не всегда даже качественно определяется ее линеаризованными уравнениями. При этом даже малые нелинейные члены могут коренным образом изменить свойства системы, сделав САУ устойчивой или неустойчивой.

Третий случай для линейной ТАУ не представляет практического интереса, так как определяет поведение системы на границе устойчивости. Работоспособная САУ не должна находиться даже вблизи от границы устойчивости.

Поэтому для оценки устойчивости САУ достаточно первых двух теорем, которые являются обоснованием теории устойчивости линеаризованных систем управления, основанной на требованиях к корням характеристического уравнения.

Однако для суждения об устойчивости САУ не требуется находить корни ее характеристического уравнения в связи с тем, что разработаны косвенные признаки, по которым судят о знаке действительных частей этих корней и тем самым об устойчивости САУ, не решая самого характеристического уравнения. Эти косвенные признаки называют критериями устойчивости.

Критерии устойчивости разделяют на алгебраические и частотные. К алгебраическим относят критерии Гурвица, Льенара-Шипара и Рауса, к частотным – критерии Михайлова и Найквиста.

2.4.1.2 Критерий устойчивости Рауса-Гурвица

Из алгебраических критериев устойчивости САУ наибольшее распространение получили критерии устойчивости Рауса и Гурвица. Критерий Гурвица часто называют критерием Рауса-Гурвица, так как он может быть получен из критерия Рауса.

Методика исследования устойчивости САУ по критерию Рауса-Гурвица сводится к следующему. Предварительно определяют характеристический полином замкнутой САУ (2.8):

.

При этом коэффициент an должен быть положительным (an > 0). Затем составляют главный определитель Гурвица размером [ n ´ n ].

Диагональными элементами этого определителя являются коэффициенты характеристического полинома, расположенные в порядке убывания индексов от an -1до a 0. Каждую строку определителя D n заполняют коэффициентами полинома D (s) с убывающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с нечетными и четными индексами. Концы строк дополняют нулями так, чтобы главный определитель имел n столбцов. Третью и четвертую строки получают сдвигом первых двух строк на один элемент вправо и т.д.

После этого, отчеркивая в главном определителе Гурвица, как показано пунктиром, диагональные миноры, получают определители Гурвица низшего порядка:

и т.д.

Критерии устойчивости Рауса-Гурвица формулируют следующим образом: для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица были положительны. Таким образом, САУ устойчива, если an > 0 при выполнении следующих условий:

D1 > 0; D2 > 0; D3 > 0; …, D n > 0.

Раскрыв определители Гурвица, получают условия устойчивости, которые для САУ первого – пятого порядков представлены в таблице 2.9.

Таблица 2.9 – Условия устойчивости САУ
Характеристическое уравнение САУ	Условия устойчивости САУ
	,

Для уравнений первой и второй степеней необходимый критерий устойчивости, заключающийся в требовании положительности всех коэффициентов характеристического уравнения, является и достаточным. Для уравнений более высокого порядка положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым, но недостаточ­ным условием устойчивости. Например, необходимые и достаточные условия устойчивости для уравнения третьей степени включают кроме требования положительности четырех коэффициентов характеристичес­кого уравнения дополнительное пятое условие . Условия устойчивости усложняются с ростом порядка системы.

2.4.1.3 Критерий устойчивости Михайлова

Критерий устойчивости Михайлова принадлежит к числу частотных критериев и позволяет оценивать устойчивость замкнутой САУ по виду годографа, который может быть получен с помощью характеристического уравнения. Годограф Михайлова описывается концом вектора D (j w) на комплексной плоскости при изменении частоты w от 0 до ¥. Вектор D (j w) получают из характеристического полинома замкнутой САУ D (s) при подстановке в последний s = j w:

. (2.108)

Полученное выражение является функцией комплексного аргумента j w. По аналогии с АФЧХ динамического звена в соответствии с (2.55) названную функцию целесообразно привести к алгебраическому виду

D (j w) = X (w) + jY (w),

где ; .

Алгебраическая форма функции по сравнению с показательной формой позволяет построить годограф Михайлова D (j w) существенно проще. По формулам X (w) и Y (w) вычисляют координаты точек годографа, по которым затем наносят точки на комплексную плоскость. Соединяя точки непрерывной линией, получают искомый годограф Михайлова D (j w) САУ (см. рисунок 2.39).

Годограф Михайлова D (j w) начинается на действительной положительной полуоси в точке a 0(w = 0) и при w®¥ уходит в бесконеч­ность в соответствующем квадранте. Годограф Михайлова устойчивых САУ всегда имеет плавную спирале­видную форму.

Критерий Михайлова формули­руют следующим образом: для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова обошел в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно n квадрантов, нигде не обращаясь в нуль.

Приблизительный вид годографов Михайлова устойчивых САУ 1-го – 5-го порядков показан на рисунке 2.39. Принято для удобства сравнения различных САУ равенство свободных членов a 0их ДУ.

Признаком неустойчивости САУ является нарушение количества и последовательности пройденных годографом Михайлова квадрантов комплексной плоскости.

Если САУ находится на границе устойчивости, то годограф проходит через начало координат (пунктирная кривая на рисунке 2.39).

2.4.1.4 Критерий устойчивости Найквиста

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой САУ по АФЧХ разомкнутой системы W (j w). Годограф W (j w) получают аналитически или экспериментально. В зависимости от свойств разомкнутой САУ годограф может иметь различный вид. В связи с этим при анализе устойчивости замкнутой САУ различают три типовых случая состояния (устойчивости) разомкнутой САУ.

Первый случай охватывает САУ, устойчивые в разомкнутом состоянии. Таким свойством обладают статические САУ, ПФ которых в общем случае имеют вид оператора (2.38), а годограф W (j w) совместно с осью вещественных чисел образует замкнутый контур (см. рисунки 2.40 и 2.41). Начинается (w = 0) годограф на вещественной положительной полуоси в точке с координатами (K, j 0), где K – коэффициент передачи (усиления) разомкнутой САУ, а заканчивается в начале координат (w = ¥).

В первом случае для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф разомкнутой САУ не охватывал точку с координатами (-1; 0 j), которую называют критической. Годограф 1 на рисунке 2.40 принадлежит устойчивой САУ, 2 – неустойчивой, 3 – САУ, находящейся на границе устойчивости. На рисунке 2.41 показан годограф W (j w) устойчивой САУ, имеющий вид клювообразной кривой. Этот годограф пересекает отрицательную действительную полуось левее критической точки. При этом количество положительных (сверху вниз) переходов годографа через полуось левее критической точки равно количеству отрицательных (снизу вверх) переходов. Это означает, что годограф действительно не охватывает критическую точку. На рисунке 2.41 отрицательный и положительный переходы отмечены знаками "-" и "+".

Второй случай охватывает нейтральные САУ, т.е. находящиеся в разомкнутом состоянии на границе устойчивости. Таким свойством обладают астатические САУ, ПФ которых в общем случае имеют вид оператора (2.39), а годограф W (j w) не может образовать замкнутого контура ни с одной из осей, так как начинается (w = 0) в бесконечности. Эту особенность называют разрывом годографа.

Во втором случае критерий Найквиста формулируется следующим образом: для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф разомкнутой САУ, дополненный на участке разрыва дугой бесконечно большого радиуса, не охватывал критическую точку.

На рисунке 2.42 показаны годографы 1 и 2 САУ с астатизмом первого порядка (v = 1). Годограф 1 принадлежит устойчивой, а годограф 2 – неустойчивой системе.

Клювообразный годограф на ри­сунке 2.43 принадлежит устойчивой САУ с астатизмом второго порядка (v = 2).

Третий случай охватывает САУ, неустойчивые в разомкнутом состоя­нии. Характеристический полином таких систем A (s) имеет l "правых" корней, т.е. корней с положительной вещественной частью.

В третьем случае, наиболее общем, критерий Найквиста формулируется следующим образом: для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф разомкнутой САУ охватывал критическую точку l /2 раз в положительном направлении (против часовой стрелки).

Анализ устойчивости САУ с годографом сложной формы, например изобра­женным на рисунке 2.43, упрощается при использова­нии правила переходов. Критерий Найквиста форму­лируется при этом следую­щим образом: замкнутая САУ устойчива, если раз­ность между количеством положительных и отрица­тельных переходов годогра­фа разомкнутой системы W (j w) через отрезок вещественной оси от -¥ до критической точки равна l /2. Годограф может начинаться на указанном отрезке при w = 0 (рисунок 2.43) или заканчиваться при w = ¥. В этом случае считают, что годограф совершает полперехода. Так, например, годограф, изображенный на рисунке 2.43, совершает один положительный переход, отмеченный знаком "+", и половину отрицательного перехода, отмеченного знаком "-". Разность названных переходов равна +1/2. Замкнутая САУ будет устойчивой, если l /2 = 1/2.

Если характеристический полином разомкнутой системы A (s) кроме корней с вещественной частью имеет нулевые и чисто мнимые корни, то на участках разрыва годограф W (j w) должен быть дополнен дугой бесконечно большого радиуса.

Для определения устойчивости САУ по критерию Найквиста используют не только АФЧХ (годограф), но ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы.

Формулировка критерия Найквиста при этом следующая: для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы разность между количеством положительных и отрицательных переходов ЛФЧХ через линии с ординатами -p, -3p и т.д. равнялась l /2. Пересечение ЛФЧХ линии -p снизу вверх считают положительным, а сверху вниз – отрицательным. Более просто определяется устойчивость замкнутых САУ, которые в разомкнутом состоянии устойчивы или нейтральны. Критерий Найквиста формулируется следующим образом: замкнутая система будет устойчива, если количество переходов ЛФЧХ через линию -p при положительных значениях ЛАЧХ (L (w) > 0) будет четным или равным нулю.

Этот признак иногда называют логарифмическим критерием устойчивости.

В качестве примера на рисунке 2.44 изображены логарифмические ЧХ трех систем, которые отличаются видом ЛФЧХ j(w), но при этом имеют одинаковую ЛАЧХ L (w). Анализ характеристик по логарифмическому критерию показывает, что устойчивой является первая САУ. ЛФЧХ этой системы (кривая 1 на рисунке 2.44) при положительных значениях ЛАЧХ (L (w) > 0) не пересекает линии с ординатой -180°, т.е. количество переходов рано нулю. Напротив, ЛФЧХ третьей САУ (кривая 3 на рисунке 2.44) один раз пересекает линию с ординатой -180°. Следовательно, эта САУ является неустойчивой.

2.4.1.5 Оценка запаса устойчивости САУ

При оценке устойчивости САУ одного факта устойчивости недостаточно, необходимо еще оценить запас устойчивости, т.е. степень удаленности САУ от границы устойчивости. Запас устойчивости должен гарантировать устойчивость реальной системы по установленному факту устойчивости ее модели. Известно, что линеаризация ММ и погрешность определения ее параметров, а также нестабильность параметров САУ в процессе эксплуатации оказывают существенное влияние на устойчи­вость реальной САУ. Запас устойчивости "покрывает" действие указанных причин.

О запасе устойчивости можно судить по расположению корней характеристического уравнения САУ в левой части комплексной плоскости (рисунок 2.3): чем дальше отстоят они от оси мнимых чисел, тем больше запас устойчивости.

Каждый критерий устойчивости позволяет определять запас устойчивости. Количественная оценка запаса устойчивости зависит от того, какой критерий устойчивости выбран.

Наибольшее распространение получила методика оценки запаса устойчивости САУ по критерию Найквиста разомкнутой системы. В качестве меры запаса устойчивости приняты вытекающие из критерия Найквиста две величины – запас устойчивости по фазе и запас устойчивости по амплитуде . Эти величины показаны на рисунке 2.44 на примере устойчивой САУ.

Запас устойчивости по фазе определяется величиной , на которую должно возрасти запаздывание по фазе САУ на частоте среза wср, чтобы САУ оказалась на границе устойчивости.

Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной амплитуды допустимого подъема ЛАЧХ, при котором САУ окажется на границе устойчивости. Таким образом, запас устойчивости по амплитуде представляет собой запас по коэффициенту передачи К разомкнутой САУ по отношению к его критическому по устойчивости значению.

При проектировании САУ рекомен­дуется выбирать и . Последнее соответствует, примерно, двой­ному запасу коэффициента передачи.

Оценить запас устойчивости замкну­той САУ можно также по АФЧХ разомкнутой САУ W (j w) (рисунок 2.45).

Совместно с названным годографом на комплексной плоскости проводят окружность с центром в начале координат. Годограф и окружность пересекаются на частоте среза в точке D 1, угловое положение которой характеризует запас устойчивости по фазе Dj.

Запас устойчивости по амплитуде характеризуется положением на вещественной оси точки D 2:

. (2.109)

2.4.1.6 Понятие об области устойчивости САУ

При синтезе САУ, когда требуется определить влияние каких-либо варьируемых параметров на устойчивость, строят область устойчивости системы в пространстве этих варьируемых параметров. Область устойчи­­вости определяет совокупность значений параметров САУ, при которых система устойчива.

В случае двух варьируемых параметров область устойчивости изображается на плоскости А 0 В (рисунок 2.46).

При трех варьируемых параметрах область устойчивости получается трехмерной и т.д. Варьируемыми параметрами (например, А и B) могут быть постоянные времени, коэффициент передачи и их любые комбинации. Граница устойчивости изображается линией, кото­рая может быть замкнутой (рисунок 2.46) и разомкнутой. Каждая точка Fi внутри области устойчивости определяет комбина­цию варьируемых параметров Ai и Bi, при которых САУ устойчива.

Если САУ в пространстве всех своих параметров не имеет области устойчивости, то ее называют структурно неустойчивой. Такая САУ не может быть сделана устойчивой путем изменения (настройки) ее параметров. Для достижения устойчивости в этом случае необходимо изменить структурную схему САУ.

Уравнение границ области устойчивости можно находить, пользуясь любым критерием устойчивости. Однако чаще всего на практике применяют метод D-разбиения /6, 14, 15/.

2.4.2 Анализ инвариантности САУ

В ТАУ под инвариантностью САУ понимают независимость управляемой (выходной) величины САУ y (t) от одного или нескольких возмущений z 1 – z 3(рисунок 1.3) и независимость рассогласования e(t) следящей системы от управляющего (задающего) воздействия g (t).

В простейшем случае инвариантности САУ достигают посредством принципа управления по возмущению (см. п. 1.2.3). При этом управляющее устройство (УУ на рисунке 1.3), которое называют компенсатором, под влиянием возмущения z (t) воздействует на ОУ. В результате этого непосредственное (естественное) влияние возмущения z (t) на управляемую величину y (t) уравновешивается (компенсируется). Единственная цель управления при этом состоит в устранении влияния одного, заранее выбранного возмущения. Компенсируют только одно возмущение, однако возможна полная компенсация. Компенсатор для этого должен иметь по крайней мере измерительное устройство (ИУ) для измерения возмущения z (t) и исполнительный механизм (ИМ) для создания необходимого воздействия y р(t) на ОУ (рисунок 2.47). Таким образом, компенсация возмущения достигается специальной структурой САУ (структурная компенсация возмущения). Кроме того, система управления должна удовлетворять условию инвариантности. Структур­ный признак реализуемости условия инвариантности сформулирован Б.Н.Петровым в форме признака двухканальности: в динамической системе должно быть по крайней мере два канала воздействия возмущения на координату (управляемую величину), инвариантность которой от этого возмущения должна быть обеспечена. Только в этом случае воздействие возмущения по одному каналу (пунктирная линия 1 на рисунке 2.47) может быть компенсировано противоположным по знаку воздействием этого же возмущения по другому каналу (пунктирная линия 2). Принцип двухканальности – это необходимый, но недостаточный критерий реализуемости условия инвариантности. Достаточным критерием реализуемости условия инвариантности считают возможность физической осуществимости необходимых для этого реальных элементов (устройств) САУ.

Трудности реализации условия инвариантности обусловили целесообразность создания САУ и с приближенным его удовлетворением. Поэтому в зависимости от степени реализации условия инвариантности и получаемых результатов различают следующие виды инвариантности:

1) абсолютную;

2) полную с точностью до переходной составляющей;

3) частичную до l -й производной включительно;

4) частичную с точностью до малой величины e.

Под абсолютной инвариантностью регулируемой величины понимают совершенную независимость ее от возмущения, момента приложения возмущения к САУ и его последующего изменения.

Если от возмущения не зависит лишь установившееся значение регулируемой величины, то говорят о полной инвариантности. В этом случае начальные значения возмущения и его производных обусловливают переходную составляющую регулируемой величины.

Под частичной инвариантностью понимают независимость регулируемой величины в установившемся режиме лишь от абсолютного значения возмущения и его младших производных до l -й включительно. Причина названной "частичности" заключается в физической нереализуемости элементов САУ, необходимых для обеспечения условия инвариантности.

Вследствие неизбежных неточностей возможно только приближение к абсолютной, полной или частичной инвариантности. Влияние возмущения на регулируемую величину оказывается существенно уменьшенным, но проявляет себя в переходных и установившихся режимах. В том случае достигают инвариантности с точностью до малой величины e.

Аналогично классифицируют инвариантность рассогласования от задающего воздействия в комбинированных следящих системах (рисунок 1.2).

Анализ инвариантности САУ составляет одну из типовых задач теории инвариантности. В случае простейшей системы управления по возмущению (рисунок 2.47) названную задачу решать проще в рамках классической ММ типа "вход - выход" (см. п. 2.1.1.3). При этом операторное уравнение

или

A (s) E (s) = B (s) Z (s)

связывает изображение ошибки регулирования E (s) с изображением по Лапласу возмущения Z (s). В области оригиналов решением этого уравнения является функция времени

e (t) = e п(t) + e в(t),

где e п(t) и e в(t) – соответственно переходная и вынужденная составляю­щие ошибки e (t).

На рисунке 2.48 изображена структурная схема исследуемой системы. Изображение ошибки E (s) при нулевых НУ представляют в виде дробно-рациональной функции

или .

Поскольку изображение возмуще­ния Z (s) в общем случае представляет собой дробно-рациональную функцию вида

,

то изображение ошибки

. (2.110)

Изображению ошибки E (s) соответствует оригинал e (t), который на основании теоремы разложения (см. п. 2.1.7.3) может быть при отсутствии кратных корней представлен в следующем виде:

, (2.111)

где sk – полюсы изображения ошибки E (s), т.е. корни уравнения A (s) = 0;

si – полюсы изображения возмущения Z (s), т.е. корни уравнения C (s) = 0.

Согласно определению, САУ инвариантна от возмущения z (t), если вынужденная составляющая ошибки тождественно равна нулю e в(t) º 0. В соответствии с (2.110) это возможно в трех случаях.

В первом случае e в(t) º 0, если D (s) = 0. Этот случай считают тривиальным, так как он отличается отсутствием возмущения и практичес­кого интереса не представляет.

Во втором случае e в(t) º 0, если B (s) = 0. Условие B (s) = 0 означает равенство нулю ПФ по возмущающему воздействию Wz (s) = 0. Принципиально это случай абсолютной инвариантности САУ от возмущения z (t), которое может быть любой функцией времени. Однако реализация условия B (s) = 0 встречает значительные технические трудности.

В третьем случае равенства e в(t) º 0 можно достичь только для тех функций z (t), изображения которых Z (s) имеют все полюсы si, совпадающие с нулями E (s), т.е. с корнями уравнения B (s) = 0. В этом случае после разложения на множители полиномов B (s) и C (s) сокращаются одинаковые сомножители вида (s - si) в числителе и знаменателе выражения (2.110). В итоге второе слагаемое в выражении (2.111) обращается в нуль и e в(t) º 0. Рассмотренный случай соответствует частичной инвариантности.

Таким образом, для инвариантности ошибки регулирования e (t) или регулируемой величины y (t) от возмущающего воздействия z (t) ПФ САУ относительно этого возмущения Wz (s), составленная для e (t) или y (t), должна быть тождественно равна нулю

Wz (s) º 0. (2.112)

Тождество (2.112) удовлетворяется тогда, и только тогда, когда B (s) = 0, или

bm = 0, bm -1= 0, …, b 1= 0, b 0= 0.

Реализация условия инвариантности Wz (s) = 0 достигается синтезом УУ (компенсатора). Непосредственно ПФ компенсатора W уу(s) получают по условию инвариантности. Очевидно, что ПФ системы по возмущению является эквивалентной и согласно (2.27) и (2.28) Wz (s) = Wze (s) + W уу(s) W оу(s). Поскольку Wz (s) = 0, то УУ должно иметь ПФ:

.

Полученные результаты в равной степени справедливы и для комбинированной САУ (рисунок 1.4), инвариантной от управляющего (задающего) воздействия g (t).

2.4.3 Анализ чувствительности САУ

Параметры САУ зависят от физических параметров ее элементов (сопротивления, индуктивности, емкости, массы, момента инерции и т.д.). В процессе работы системы эти физические параметры могут по разным причинам изменяться во времени.

Поэтому возникает задача определения влияния изменения параметров САУ на статические и динамические характеристики процесса управления, т.е. на точность САУ и ее временнÏе и частотные характеристики.

Свойство САУ изменять свои выходные характеристики (показатели качества регулирования) при отклонении тех или иных параметров от своих (расчетных) значений называют чувствительностью системы. Названное отклонение параметров системы обусловливает отличие варьированного движения от исходного движения САУ y 1(t), y 2(t), …, yn (t). Эту разницу

, i = 1, 2, …, n

называют дополнительным движением системы и рассчитывают по формуле

(2.113)

где uij – функции чувствительности (j = 1, 2, …, m);

a j – параметры САУ, изменяющиеся со временем.

Различают функции чувствительности:

– передаточных функций

– временнÏх характеристик ;

– показателей (критериев) качества .

Определение функций чувствительности проводят следующим образом. САУ описывают системой ОДУ в нормальной форме Коши

, (2.114)

где yi – переменные состояния, i = 1, 2, …, n (см. систему уравнений (2.68)).

Изменяющиеся со временем параметры входят в коэффициенты уравнений (2.114), т.е. , , …, .

Уравнения САУ (2.114) преобразуют к следующему виду:

Дифференцируя последние уравнения, получают уравнения чувствительности

. (2.115)

Функции чувствительности uij получают решением названных уравнений. Определение функций чувствительности простейших САУ не вызывает серьезных затруднений. В частности, такая система подобна А‑звену первого порядка и описывается ОДУ (таблица 2.1)

.

В этом случае временнÏе характеристики САУ чувствительны к изменениям коэффициента передачи K и постоянной времени T. Для количественной оценки этой зависимости вводят соответственно две функции чувствительности

и .

Для определения этих функций ОДУ системы приводят к нормальной форме Коши (2.113):

или в общем виде при i = 1

,

где .

Изменяющиеся параметры обозначены a1= T и a2= K.

Согласно (2.114) при i = 1 и j = 2

Окончательно получают уравнения чувствительности

Интегрирование уравнений чувствительности приводит к искомым функциям чувствительности uT и uK и оценке дополнительного движения САУ D yT и D yK.

Задачу определения функций чувствительности uij и дополнительного движения D yi САУ с постоянными параметрами решают также с помощью преобразования Лапласа. Для этого основную ПФ системы, у которой параметры имеют отклонение на величину a от номинального значения, обозначают F(s, a). В этом случае оригинал регулируемой (выходной) величины определяют обратным преобразованием Лапласа

,

где X (s) – изображение входного сигнала системы x (t).

Если это уравнение дифференцируемо по параметру a, то функция чувствительности равна

.

В рассмотренном выше примере анализа чувствительности А-звена первого порядка к изменению постоянной времени T при x (t) = 1(t) следует принять соответственно

и .

При этом функция чувствительности равна

Дополнительное движение определяется согласно (2.113) и равно

Регулируемая величина звена с постоянной времени T + a изменяется по следующему закону

На рисунке 2.49 показаны графики функций и , изображающие соответственно варьированное и исход­ное движение исследуемого А‑звена.

2.4.4 Анализ управляемости и наблюдаемости линейных САУ

Для анализа управляемости и наблюдаемости САУ необходимо ММ системы привести к виду "вход – состояние – выход" (рисунок 2.27), так как исследуемые свойства системы непосредственно связаны со структу­рой матриц A, B и C уравнений состояния (2.82).

Понятие управляемости связано с возможностью приведения системы в заданное состояние с помощью управляющих (входных) воздействий.

Понятие наблюдаемости САУ связано с возможностью определения переменных состояния по результатам измерения выходных переменных.

На рисунке 2.50 в качестве примера изображена структурная схема некоторой САУ.

Переменная состояния не связа­на с входным воздействием u (t), которое поэтому не влияет на изменение во времени. Такую переменную состояния называют неуправляемой. Переменная не связана с выходом, и поэтому по наблюдению выхода y (t) невозможно определить . Такую переменную состояния называют ненаблюдаемой.

Р.Калманом предложено следующее определение: САУ (2.82) называют полностью управляемой, если для любых моментов времени t 0 и t 1(t 1 > t 0) и любых заданных состояний X 0и X 1существует управление u (t) (t 0 £ t £ t 1), переводящее начальное состояние X (t 0) = X 0в конечное X (t 1) = X 1.

Для оценки управляемости САУ вводят в рассмотрение матрицу управляемости

У = [ BABA 2 B … A n -1 B ], (2.116)

которая состоит из столбцов матриц B и произведений матриц AB, A 2 B и т.д. и имеет размерность [ n ´ nm ]. Первая теорема Калмана устанавливает условие (критерий) управляемости: САУ (2.82) полностью управляема тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости У равен n, т.е.

rank У = n. (2.117)

Если ранг матрицы управляемости rank У < n, то САУ управляема неполностью или неуправляема при rank У = 0.

Если САУ имеет один вход, то матрица управляемости У будет квадратной [ n ´ n ]. В этом случае для полной управляемости системы требуется, чтобы матрица управляемости системы была невырожденной, т.е. ее определитель .

Для осуществления управления необходима информация о текущем состоянии САУ, т.е. о значениях переменных состояния X в каждый момент времени. Однако некоторые из переменных не являются физическими переменными и поэтому не могут быть измерены. Измеряемыми и наблюдаемыми являются физические выходные переменные У, через которые должны однозначно выражаться все составляющие вектора состояния X.

САУ (2.82) называют наблюдаемой, если по данным измерения или наблюдения векторов y (t) и u (t) на конечном интервале времени t 0 £ t £ t 1можно однозначно определить начальное состояние X (t 0) = X 0. Систему (2.82) называют полностью наблюдаемой, если наблюдаемы все ее состоя­ния в любые моменты времени.

Для оценки наблюдаемости САУ вводят в рассмотрение матрицу наблюдаемости,

H = [ C т A т C т A т² C т … A т ^{n -1} C т], (2.118)

которая состоит из столбцов матриц C т, произведений матриц A т C т, А т² C т … A т ^{n -1}