Контрольная работа №2. Неразветвленная цепь переменного тока содержит резисторы, индуктивности и емкости

Задачи №1, 2, 3, 4, 5, 6.

Неразветвленная цепь переменного тока содержит резисторы, индуктивности и емкости. Номер рисунка, на котором изображена схема цепи и значения всех сопротивлений, а также дна дополнительная величина заданы в таблице 29. Определить следующие величины, если они не заданы в таблице: полное сопротивление цепи, напряжение, приложенное к зажимам цепи, силу тока, угол сдвига фаз (по величине и знаку) между током и напряжением; активную, реактивную и полную мощности, потребляемую цепью. Начертить в масштабе векторную диаграмму цепи и поделить порядок ее построения.

Как изменится ток цепи и угол сдвига по фазе между током и напряжением, если частоту тока цепи увеличить в 3 раза? Напряжение, прикладываемое к зажимам цепи при этом считать неизменным.

УКАЗАНИЕ: Смотрите решение типового примера 13.

Таблица 29

№ Задачи	№ Рисунка	№ варианта	R1	R2	XL1	XL2	XC1	XC2	Дополнительная величина
Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом
				- - - - - - - - - -		- - - - - - - - - -			U = 10 В P = 24 Вт UC2 = 30 В S = 500 ВА Q = -128 вар I = 10 А UC1 = 60 В UR1 = 80 В Q = 96 вар S = 750 ВА
Продолжение табли.
			4,8 6,1 7,2		- - - - - - - - - -	20,6	12,5	- - - - - - - - - -	UR1 = 50 В I = 5,5 А S = 495 ВА UR2 = 38 В U = 200 В P = 156,8 Вт Q = -256 вар U = 110 В I = 10 А P = 640 Вт
			7,1 9,1	10,1	- - - - - - - - - -	- - - - - - - - - -	2,2 5,5	3,4	UR1 = 40 В I = 8 А UR2 = 36 В UC2 = 36 В S = 500 ВА U = 110 В P = 257,6 Вт Q = -201,6 вар I = 9,5 А U = 400 В
			4,6 9,8	5,2 6,3			11,5	- - - - - - - - - -	S = 20 ВА Q = -216 вар UR1 = 18 В Q = -51 вар P = 96 Вт I = 6 А U = 160 В UR2 = 72 В UL1 = 90 В UC1 = 144 В
Продолжение таблицы
				4,1 9,2		- - - - - - - - - -	8,4	- - - - - - - - - -	I = 4 А P = 128 Вт P = 48 Вт UR2 = 12 В S = 220 ВА I = 5 А UC1 = 72 В I = 9 А Q = -660 вар U = 180 В
			4,1 5,2			17,6			U = 100 В I = 15 А P = 256 Вт S = 270 ВА Q = 726 вар UR1 = 16 В UL1 = 63 В UC2 = 42 В S = 720 ВА P = 1960 Вт

X_C1 R₁ R₂ X _L2 R ₁ X_C1

X_C2 X_L1 X_C1 R₁ X_C2 R₂

Рисунок 47 Рисунок 48 Рисунок 49

X_C1 R₁ R₁ X_C1 X_L1 R ₁ X_C1

X_L2 R₂ X_C2 R₂ X_C1 R₁ X_L2 R₂ X_C2 R₂

Рисунок 50 Рисунок 51 Рисунок 52

Задачи №7, 8, 9, 10, 11.

Для цепи переменного тока при последовательном соединении ее элементов задана ее векторная диаграмма, а также величина тока и значения напряжений на отдельных ее элементов. С использованием векторной диаграммы, определить характер и величину каждого сопротивления, начертить эквивалентную схему цепи; вычислить угол сдвига фаз; активную, реактивную и полную мощность, потребляемые цепью. Номер рисунка, на котором дана векторная диаграмма, а также дополнительные сведения к ней, приведены в таблице 30. Как измениться ток в цепи, если частоту уменьшить в 2 раза?

УКАЗАНИЕ: 1. Смотрите решение типового примера 14.

2. При построение векторной диаграммы в масштабе угол может получиться как положительной, так и отрицательной.

Таблица 30

№ Задачи	№ Рисунка	№ варианта	I	U1	U2	U3	U4	U5	U6 B
A	B	B	B	B	B
			9,5	28,4 54,6	13,2 52,25	60,6	20,4 66,5	- - - - - - - - - -	- - - - - - - - - -
			4,5 3.5	80,5 103,5	58,5 34,3		22,05	31,5	- - - - - - - - - -
			8,5 4,5	25,5	75,6	25,5		12,3 82,8	- - - - - - - -   -
Продолжени
			5,5		36,9 20,8	38,5		70,4	27,Ю5
								- - - - - - - - - -	- - - - - - - - - -

U₅

U

U

U₅

I

I

U₁

I U₄

U₂ U₄ U₁

U₃

U₃ U₁ U₃ U₂

U U₄ U₂

Рисунок 53 Рисунок 54 Рисунок 55

U₂

I

U₃ U₄

U₁ U₄ U U₃

I

U

U₅ U₆ U₁ U₂

Рисунок 56 Рисунок 57

Задачи № 12, 13, 14, 15, 16.

Разветвлённая цепь переменного тока содержит резисторы, индуктивности и ёмкости. Номер рисунка, величина и характер нагрузки на каждом участке цепи, а также одна дополнительная величина заданы в таблице. Вычертить схему цепи в соответствии с ГОСТами и определить следующие величины, если они не заданы в таблице; сдвиг по фазе между током и напряжением цепи; активную, реактивную и полную мощности, потребляемые все цепью. Начертить в масштабе векторную диаграмму.

Вычислите резонансную частоту, при которой в цепи наступит режим резонанса токов.

УКАЗАНИЕ: Смотрите решение типового примера 15

Таблица 31

№ Задачи	№ Рисунка	№ варианта	R1	R2	XL1	XL2	XC1	XC2	Дополнительная величина
Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом
			16.1 9.8	19.2 12.5 19.2 5.6		- - - - - - - - - -	- - - - - - - - - -	5,6 5,6 19,2	QL1 = 128 вар U = 80В QL1 = 144 вар UC2 = 30 В P2 = 16 Вт S2 = 605 ВА UL1 = 96 В P1 = 192 Вт S1 = 5500 ВА UR2 = 44,8 В
			16,1 9,8	19,2 19,2 5,6 12,5		4,6		9,6 10,2 25,2	U = 80 В UC2 = 60 В S2 = 605 ВА P1 = 192 Вт UR2 = 44,8 В QL1 = 208 вар QL1 = 207 вар P2 = 16 Вт UL1 = 132 В S1 = 5500 ВА
Продолжение таблиц
			9,8         16,1	5,6     19,2   12,5   19,2		4,6	-   -   -   -   -   -   -   -   -   -	25,2     10,2     9,6	UR2 = 44,8 В   S1 = 5500 ВА   P1 = 192 Вт   UL1 = 96 В   S2 = 605 ВА   P2 = 16 Вт   UC2 = 60 В   Q4 = 144 вар   U = 80 В   QL1 = 128 вар
			16,1 9,8	19,2 12,5 19,2 5,6		- - - - - - - - - -		5,6 5,6 19,2	S2 = 605 ВА UL1 = 132 В P1 = 192 Вт S1 = 5500 ВА UR2 = 44,8 В QL1 = 208 вар U = 80 В QL1 = 207 вар UC2 = 30 В P2 = 16 Вт
Продолжение табицы
			- - - - - - - - - -	12,5 19,2 19,2 5,6		4,6		9,6 10,2 25,2	QL1 = 234 вар P2 = 64 Вт UL1 = 156 В S1 = 5500 ВА U = 80 В UC2 = 60 В S2 = 605 ВА UC1 = 36 В UR2 = 44,8 В QL1 = 240 вар

~U R₁ R₂ ~U R₁ R₂ ~U R₁ R₂

X_L X_C2 X_L1 X_L2 X_L1 X_L2

X_C1 X_C2 X_C1

Рисунок 58 Рисунок 59 Рисунок 60

~U R₁ R₂ ~U R₂

X_L1 X_C2 X_L1 X_L2

X_C1 X_C1 X_C2

Рисунок 61 Рисунок 62

Задачи №17, 18, 19, 20, 21.

Задана векторная диаграмма разветвленной цепи переменного тока, а также токи в ветвях и величина напряжения, прикладываемого к зажимам цепи. Углы сдвига по фазе между напряжением и токами в ветвях, а также другие исходные данные приведены в таблице 32. Пользуясь векторной диаграммой определить характер и величину сопротивления каждого элемента нагрузки; начертить эквивалентную схему цепи; вычислить ток в неразветвленной части цепи и его сдвиг по фазе относительно напряжения. Закончить построение векторной диаграммы в масштабе. Каким образом в полученной цепи можно получить резонанс токов? Если цепь не позволяет достигнуть резонанса токов, то пояснить, какой элемент надо дополнительно включить в цепь для этого. Начертить схему такой цепи.

УКАЗАНИЕ: Смотрите решение типового примера 16.

I₁ U I₁ I₂

₁

_{2 2} U

I_{2 1} I₂ U

Рисунок 63 Рисунок 64 Рисунок 65

I₁

I₂

₁ U _{2 U}

_{2 1}

I₂ I₁

Рисунок 66 Рисунок 67

Таблица 32

№ Задачи	№ Рисунка	№ Варианта	U	I1	I2	1	2
В	А	А	Градус	Градус
				12,5	6,25		-30 -60 -37 -53 -45 -30 -60 -37 -53 -45
					5,5	-30 -60 -37 -53 -45 -30 -60 -37 -53 -40
Продолжение таблицы
							-60 -30 -53 -37 -45 -50 -40 -20 -25 -30
				5,5 12,5	3,5	-90 -90 -90 -90 -90 -90 -90 -90 -90 -90

Задачи № 23, 24, 25, 26.

Цепь переменного тока (рисунок 68) содержит резисторы, индуктивности и конденсаторы, соединенные смешано. Напряжение на зажимах цепи U = 200 В.

Методом проводимостей определить токи на отдельных участках цепи; ток в неразветвленной части цепи, активную, реактивную и полную мощности цепи, коэффициент мощности всей цепи cos. Построить в масштабе векторную диаграмму. Начертить схему цепи. Исходные данные для расчета и положение переключателей в каждом конкретном случае указаны в таблице 33.

УКАЗАНИЕ: Смотрите решение типового примера 17.

SA2 R₂ X_L3 X_C2

SA1 SA3 R₃ X_L3 X_C3 SA4 SA5

R₁ R₄ R₅

X_L1 X_L4 X_L5

X_C1 X_C4 X_C5

Рисунок 68

Таблица 33

№ Зада чи	Замкнутые рубильники	№ Варианта	R1	XL1	XC1	R2	XL2	XC2	R3	XL3	XC3	R4	XL4	XC4	R5	XL5	XC5
Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом	Ом
	SA1, SA2, SA4.		9,8 16,1	12,5			17,5		- - - - - - - - - -	- - - - - - - - - -	- - - - - - - - - -	8,1 4,8			- - - - - - - - - -	- - - - - - - - - -	- - - - - - - - - -
	S1, SA3, SA4.		9,8 16,1	12,5		- - - - - - - - - -	- - - - - - - - - -	- - - - - - - - - -		17,5		8,1 4,8			- - - - - - - - - -	- - - - - - - - - -	- - - - - -- - - - -
	SA2, SA3, SA4		- - - - - - - - - -	- - - - - - - - - -	- - - - - - - - - -	9,8 16,1	12,5		9,8 16,1	12,5		38,1 9,8 16,1	12,5		- - - - - - - -- -	- - - - -- - - - - -	- - - - - - - - - -
	SA1, SA2, SA5.		9,8 16,1	12,5			17,5		- - - - - - - - - -	- - - - - - - - - -	- - - - - - - - - -	- - - - - - - - - -	- - - - - - - - - -	- - - - - - - - - -	8,1 4,8
	SA2, SA3, SA5.		- - - - - - - - - -	- - - - - - - - - -	- - - - - - - - - -	9,8 16,1	12,5		9,8 16,1	12,5		- - - - - - - - - -	- - - - - - - - - -	- - - - - - - - - -	9,8 16,1	12,5

Задача №27.

Решить задачу 22 символическим методом (с использованием комплексных чисел)

УКАЗАНИЕ: Смотрите решение типового примера 18.

Задача №28.

Решить задачу 23 символическим методом (с использованием комплексных чисел).

УКАЗАНИЕ: Смотрите решение типового примера 18.

Задача №29.

Решить задачу 24 символическим методом (с использованием комплексных чисел).

УКАЗАНИЕ: Смотрите решение типового примера 18.

Задача №30.

Решить задачу 25 символическим методом (с использованием комплексных чисел).

УКАЗАНИЕ: Смотрите решение типового примера 18.

Задача №31.

Решить задачу 26 символическим методом (с использованием комплексных чисел).

УКАЗАНИЕ: Смотрите решение типового примера 18.

Задачи №32.

В трехфазную четырёхпроводную цепь с линейным напряжением U_Л включены звездой три различные по характеру нагрузки электроприемника. Начертите схему цепи. Определите линейные токи и ток нулевого провода, активную, реактивную и полную мощности фаз и всей цепи. Постройте в масштабе векторную диаграмму цепи. Исходные данные для расчета указаны в таблице 34.

Какие дополнительные сопротивления нужно включить в фазы В и С схемы, чтобы ток в нулевом проводе стал равен нулю при неизменных значениях сопротивлений в фазе А? Как будет выглядеть схема в этом случае? Определите линейный ток полученной цепи и постройте в масштабе векторную диаграмму.

УКАЗАНИЕ: Смотрите решение типового примера 19.

Таблица 34

№ Варианта	UЛ	ZА	ZВ	ZC
B	Ом	Ом	Ом
		3 + j 4 18 – j 24 24 + j 32 16 – j 12 25 – j 49 38 + j 12,5 16,1 – j 15 9,8 + j 23 40 – j 30 49 + j 25	6 – j 8 25 + j 49 12,5 – j 38 15 – j 16,1 12,5 – j 38 24 – j 32 3 – j 4 16,1 – j 15 23 + j 9,8 12,5 – j 38	12 + j 16 9,8 – j 23 40 + j 30 4 – j 3 32 – j 24 30 + j 40 8 + j 6 38 + j 12,5 18 – j 24 30 – j 40

Задача №33.

Решить задачу 32 при условии, что произошел обрыв линейного провода С. Построить в масштабе векторную диаграмму цепи.

УКАЗАНИЕ: Смотрите решение типового примера 19.

Задача №34.

В трехфазную трехпроводную сеть с линейным напряжением U_Л включены треугольником разные по характеру электроприемники. Исходные данные для расчета приведены в таблице. Начертите схему цепи. Определите фазные и линейные токи: активные, реактивные и полные мощности фаз и всей цепи. Постройте в масштабе векторную диаграмму цепи.

Какие сопротивления необходимо включить дополнительно в фазы АВ и ВС, чтобы при неизменных сопротивлениях в фазе СА нагрузка стала равномерной? Какой вид станет иметь схема и чему будут равны линейные токи в этом случае? Постройте в масштабе векторную диаграмму для изменой схемы.

УКАЗАНИЕ: Смотрите решение типового примера 20.

Таблица 35

№ Варианта	UЛ	ZАВ	ZВС	ZCА
B	Ом	Ом	Ом
		16 – j 12 25 – j 49 38 + j 12,5 16,1 – j 15 9,8 + j 23 40 – j 30 49 + j 25 3 + j 4 18 – j 24 24 + j 32	15 – j 16,1 12,5 – j 38 24 – j 32 3 – j 4 16,1 – j 15 23 + j 9,8 12,5 – j 38 6 – j 8 25 + j 49 12,5 – j 38	4 – j 3 32 – j 24 30 + j 40 8 + j 6 38 + j 12,5 13 – j 24 30 – j 40 12 + j 16 9,8 – j 23 40 + j 30

Задача №35.

Решить задачу 34 при условии, что произошел обрыв линейного провода В. Построить векторную диаграмму цепи.

УКАЗАНИЕ: Смотрите решение типового примера 20.

Задача №36.

Решить задачу 34 при условии, что произошел обрыв в фазе ВС. Построить векторную диаграмму цепи.

УКАЗАНИЕ: Смотрите решение типового примера 20.

Задача №37.

К зажимам цепи (рисунок 69) прикладывается несинусоидальное напряжение, уравнение которого имеет вид:

u = U₀ + U_m1 ∙ sin ωt + U_m3 ∙sin(3ωt + ₃)

Определите уравнение мгновенного значения тока, протекающего в цепи, действующие значения напряжения и тока, активную мощность и коэффициент мощности цепи. Частота основной гармоники f = 50 Гц. Исходные данные для расчета приведены в таблице 36.

УКАЗАНИЕ: Смотрите решение типового примера 21.

R

L

C

Рисунок 69

Таблица 36

Номер варианта	U0	Um1	Um3	Ψ3	R	C	L
B	B	B	град	Ом	мкФ	мГн
				- 80 - 70 - 60 - 45 - 30	12,5 9,8 16,1	636,9 398,1 636,9 32,5 41,9 69,23 106,2 53,08	25,48 41,4 76,43 92,36 114,6 73,25 47,77 95,54

Задача №38

К зажимам цепи, состоящей из последовательно соединенных активного сопротивления и индуктивности, прикладывается несинусоидальное напряжение, уравнение которого имеет вид:

U= U₀ + U_m1 ∙ sin(ω ± + ₁) + U_m2 ∙ sin 2ωt

Определите уравнение мгновенного значения тока цепи; действующие значения напряжения и тока; активную и реактивную мощности цепи и коэффициент мощности. Частота основной гармоники f = 100 Гц. Исходные данные для расчета приведены в таблице 37.

УКАЗАНИЕ: Смотрите решение типового примера 21.

Таблица 37

Номер варианта	U0	U1	U2	Ψ1	R	L
B	B	B	Град	Ом	мГн
	37,5 19,6 48,3				12,5 9,3 16,1	25,48 38,22 50,95 78,02 60,51 36,62 23,88 47,77 6,369 12,74

Задача №39

На сердечнике из электротехнической стали (рисунок 70) располагается катушка, имеющая W витков. К зажимам катушки прикладывается прикладывается напряжение U, имеющееся с частотой f = 50 Гц.

Определить величину тока в катушке и коэффициент мощности цепи со сталью. Построить в масштабе векторную диаграмму. Исходные данные для расчета приведены в таблице 38.

УКАЗАНИЕ: Смотрите решение типового примера 22.

n

a

m i

a W ~U

δ δ

a

b

d

Рисунок 70

Таблица 38

Номер варианта	U	W	a	b	m	n	𝛅	Материал сердечника
В	-	мм	мм	мм	мм	мм
							0,1 0,2 0,25 0,15 0,25 0,15 0,1 0,15 0,2 0,2

Задача №40

При включении обмотки возбуждение машины постоянного тока на повышенное напряжение (рисунок 71) в цепи обмотки возбуждения имеет место переходный процесс. Произведя расчет, построить график переходного тока в обмотке возбуждения.

Исходные данные для расчета приведены в таблице39.

R_р

₊

U_В R₆

L₆

-

Рисунок 71

Таблица 39

Номер варианта	Up	Rp	R6	L6
B	Ом	Ом	Гн
		1,3 2,4 1,8 1,1 2,1 2,9 1,4 2,1 1,5 1,2	0,2 0,3 0,2 0,1 0,1 0,6 0,05 0,4 0,15 0,1	2,6 2,8 1,4 1,8 2,4 2,7 2,6 3,2 1,9 2,3

Задача №41

Конденсатор с ёмкостью С и активное сопротивление включается в сеть с постоянным напряжением. Начертить схему цепи. Исходные данные для расчета приведены в таблице 40. Построить графики переходного тока и изменения на обкладках конденсатора при его зарядке.

УКАЗАНИЕ: Смотрите решение типового примера 23.

Таблица 40

Номер варианта	U	R	C
B	Ом	Ом

Методические указания к выполнению контрольной работы № 2

В контрольную работу №2 входят девять тем. В таблице указаны номера задач к соответствующей теме и номера таблиц с данными к этим задачам.

Таблица 41

Номера тем	Название тем	Номера задач	Номера таблиц
3,3	Расчет электрических цепей переменного тока с помощью векторных диаграмм	1-22
3,4	Расчет электрических цепей синусоидального тока с применением комплексных чисел	23-31
3,5	Трехфазные симметричные цепи переменного тока	32-36
3,6	Электрические цепи с несинусоидальными напряжениями и токами	37-38
3,7	Нелинейные электрические цепи переменного тока
3,8	Переходные процессы в электрических цепях	40-41

Методические указания к решению задач 1 – 6.

Решение этих задач требует знания законов Ома для всей цепи и ее участков, первого и второго правил Кирхгофа применительно к цепям переменного тока, методики определения полного сопротивления цепи, активной, реактивной и полной мощностей участков и всей цепи в зависимости от характера нагрузки, построение векторных диаграмм неразветвленных цепей переменного тока.

Пример 13

Определить ток падение напряжения на отдельных участках, сдвиг между током и напряжением, а также полную, активную и реактивную мощности цепи, изображенной на рисунке 72, по следующим данным:

Дано: U = 200 B; L = 0,0382 Гн; C = 796,2 мкФ; К = 6 Ом; ƒ = 50 Гц

L

~ u R

C

Рисунок 72

Алгоритм решения

1.Индуктивное сопротивление цепи

X_L = 2∙𝝅∙ƒ∙ L = 2∙ 3,14∙50∙0,0382 = 12 Ом

2.Реактивное сопротивление емкости

X_C = 4 Ом

3.Полное сопротивление цепи

Z = = = 10 Ом

4.Токи цепи

I = = = 20 A

5.Коэффициент мощности цепи:

Cos = = = 0,6

6.Сдвиг фаз межу током и напряжением определяем через Sin, чтобы не потерять знак.

Sin = = = 0,8

По таблице Брадиса В.М. находим = 53^◦

7.Активная мощность цепи

P = U∙I ∙Cos = 200∙20∙0,6 = 2400 Вт

или P = I² ∙R = 20²∙ 6 = 2400Вт

8.Реактивная мощность цепи

Q = UI ∙Sin = 200∙20∙0,8 = 3200 вар

или Q = I²∙(X_L – X_C) = 20²∙8 = 3200 вар

9.Полная (кажущаяся) мощность цепи

S = UI = 200∙20 = 4000 ВА

или S = I²∙ Z = 20²∙10 = 4000 BA

или S = = = 4000 BA

10.Падение напряжения на отдельных участках цепи

U_L = I∙X_L = 20∙12 = 240 B

U_R = IR = 20∙6 = 120 B

U_C = I∙X_C = 20∙4 = 80 B

11.Для построения векторной диаграммы выбираем масштабы:

По напряжению М_U = 40

По току М_I = 4

Построение векторной диаграммы (рисунок 73) ведем по векторному уравнению, составленному для цепи по 2-му правилу Кирхгофа

Ū = Ū_L+Ū_C+Ū_R

При этом учитываем, что активное (U_R) напряжение совпадает по фазе с током (I), индуктивное (U_L) напряжение опережает ток на угол 90⁰, а емкостное (U_C ) напряжение отстает от тока на угол 90⁰.

U_R

U_L U_C

U

I

Рисунок 73

Примечание: Изменение частоты ƒ тока в цепи оказывает влияние только на реактивное сопротивление, т.к. Х_L = 2𝝅ƒL, X_C =. Активное сопротивление не зависит от частоты

Методические указания к решению задач 7 – 11

Решение этих задач требует знаний характера нагрузки на отдельных участках неразветвленной цепи переменного тока в зависимости от взаимного расположения векторов тока и прикладываемого напряжения к рассматриваемому участку на векторной диаграмме цепи, методики определения полного сопротивления цепи, активной реактивной и полной мощностей участков и всей цепи.

Пример 14

Задана векторная диаграмма неразветвленной цепи переменного тока (рисунок 74). Определить величину, характер нагрузки на отдельных участках цепи, сдвиг фаз между током и напряжением, активную, реактивную и полную мощности цепи по следующим данным

Дано: I = 5A; U₁ = 15 B; U₂ = 10 B; U₃ = 25 B; U₄ = 40 B.

U₃

U₂

U₁ I

U₄

U

Рисунок 74

Алгоритм решения

1.Вектор напряжения Ū₁ совпадает с вектором тока Ī, следовательно, на первом участке включено активное сопротивление, величина которого по закону Ома

R₁ = = = 3 Ом

2.Вектор напряжения Ū ₂ опережает вектор тока Ī на угол 90⁰, следовательно, на втором участке включено индуктивное сопротивление величина которого

X_L2 = = = 2 Ом

3.Вектор напряжения Ū₂ совпадает с вектором тока Ī, следовательно, на третьем участке включено активное (как и на первом участке) сопротивление, величина которого

R₃ = = = 5 Ом

4.Вектор напряжение Ū₄ отстает от вектора тока Ī на угол 90⁰, следовательно, на четвертом участке включено реактивное сопротивление емкости, величина которого

X_C4 = = = 8 Ом

5.Составляем схему цепи (рисунок 75)

R₁ X _L2

˜ U X_C4 R₃

Рисунок 75

6.Общее сопротивление цепи

Z= = = 10 Ом

7.Напряжение, прикладываемое к зажимам цепи

U = I∙Z = 5∙10 = 50 B

8.Сдвиг фаз между током и напряжением цепи

Sin = = = - 0,6

По таблице Брадиса В.М. находим ⁰. Знак (-) показывает, что вектор напряжения отстает от вектора тока на угол 37⁰.

9.Коэффициент мощности цепи

Cos = = = 0,8

10.Активная мощность цепи

P = UI ∙ Cos = 50∙5∙0,8 = 200 Вт

или P = I²∙(R₁ + R₃) = 25∙(3 + 5) = 200 Вт

11.Реактивная мощность цепи

Q = UI ∙ Sin = 50 ∙ 5 ∙ (-0,6) = - 150 вар

или Q = I²∙(X_L2 – X_C4) = 5²∙(2 - 8) = -150 вар

Знак (-) показывает, что реактивная мощность носит емкостный характер.

12.Полная (кажущаяся) мощность цепи

S = UI = 50∙5 = 250 ВА

или S = I²∙ Z = 5²∙10 = 250 BA

или S = = = 250 BA

13.Для построения векторной диаграммы в масштабе (рисунок 76), принимаем:

М_U = 10

М_I = 1

U₃

U₂

U₁ =37^◦ I

U U₄

Рисунок 76

Методические указания к решению задач 12 – 16

Решение этих задач требует знаний закона Ома для участка цепи 1-го и 2-го правил Кирхгофа применительно к цепям переменного тока, методики определения активной и реактивной составляющих токов ветвей, тока в неразветвленной части цепи, активной, реактивной и полной мощности ветвей и всей цепи, построения векторных диаграмм разветвленных цепей переменного тока.

Пример 15

Вычислить общий ток цепи; токи ветвей, напряжение прикладываемое к зажимам, сдвиг фаз между током и напряжением, а также полную, активную и реактивную мощности цепи, изображенной на рисунке 77, по следующим данным:

Дано: U_R2 = 60 B, X_C1 = 5 Ом, R₂ = 6 Ом, X_L2 = 8 Ом, ƒ = 50 Гц

Построить в масштабе векторную диаграмму

I I₂

~U I₁ R₂

X_C1 X_L2

Рисунок 77

Алгоритм решения

1.Ток второй ветки

I = = = 10 A

2.Общее сопротивление второй ветви

Z₂ = = = 10 Ом

3.Напряжение, прикладываемое к зажимам цепи

U = I² ∙Z² = 10 ∙ 10 = 100 B

4.Сдвиг фаз между током второй ветви I₂ и напряжением U

Sin₂ = = = 0,8

По таблицам Брадиса В.М. находим ≈53⁰,

5.Коэффициент мощности второй ветви

Cos₂ = = = 0,6

6.Ток первой ветви

I₁ = = = = 20 A,

где Z₁ = X_C1, т.к. в первой ветви включена только емкость.

7.Сдвиг фаз между током первой ветви I₁ и напряжением U

Sin₁ = = = -1

По таблицам Брадиса В.М. находим = -90^◦

8.Коэффициент мощности первой

Cos₁ = = = 0

9.Активные и реактивные составляющие токов в ветвях.

I_a1 = I₁ ∙ Cos₁ = 20 ∙ 0 = 0

I_p1 = I₁ ∙ Sin₁ = 20 ∙ (-1) = -20 A

I_a2 = I₁ ∙ Cos₂ = 10 ∙ 0,6 = 6 A

I_p2 = I₁ ∙ Sin₂ = 10 ∙ 0,8 = 8 A

10.Ток в неразветвленной части цепи

I = = = 13,42 A

11.Сдвиг фаз между током и напряжением цепи

Sin = = = - 0,894

По таблицам Брадиса В.М. определяем≈-63^◦,

12.Коэффициент мощности цепи

Cos₂ = = = 0,447

13. Активные мощности ветвей и всей цепи

P₁ = U∙I₁ ∙Cos₁ = 100 ∙ 20 ∙ 0 = 0 Вт

P₂ = U∙I₂ ∙Cos₂ = 100 ∙ 10 ∙ 0,6 = 600 Вт

P = P₁ +P₂ = 0 + 600 = 600 Вт

или P = U ∙ I ∙ Cos = 100 ∙ 13,42 ∙ 0,447 = 600 Вт

14. Реактивные мощности ветвей и всей цепи

Q₁ = UI₁ ∙ Sin₁ = 100 ∙ 20 ∙ (-1) = - 2000 вар

Q₂ = UI₂ ∙ Sin₂ = 100 ∙ 10 ∙ (-0,8) = - 800 вар

Q = Q₁ + Q₂ = -2000 + 800 = -1200 вар

или Q = UI ∙ Sin = 100 ∙ 13,42 ∙ (-0,894) = - 1200 вар

Знак (-) показывает, что реактивная мощность цепи носит емкостный характер.

15. Для построения векторной диаграммы (рисунок 78) принимаем масштабы:

- по напряжению М_U = 20

- по току М_I = 5

Построение начинаем с вектора Ū напряжения, который откладываем горизонтально, Под углом 90⁰ в сторону опережения вектора напряжения Ū откладываем в масштабе тока вектора тока – Ī₁ первой ветви (т.к. в первой ветви включена емкость). Под углом ₂ в сторону отставания от вектора напряжения Ū проводим в масштабе тока вектора тока Ī₂ второй ветви (т.к. во второй ветви включена активно-индуктивная нагрузка).

I₁ I

₁ U

₂

I₂

Рисунок 78

Вектор тока Ī в неразветвленной части цепи находим векторным сложением Ī₁ и Ī₂ по уравнению, составленному по 1-му правилу Кирхгофа:

Ī = Ī₁ + Ī₂

16.Резонанс токов в разветвленных цепях переменного тока наступает при условии:

B_L2 = B_C1, где

b_L2 = = – индуктивная проводимость второй ветви

b_C1 = = – емкостная проводимость первой ветви

После преобразований получаем формулу резонансной частоты

ƒ_р = ∙ = ∙ = 126,4 Гц,

где L₂ = = = 25,4 ∙10^-3 Гн

С₁ = = = 636,9 ∙10^-3 Ф

Примечание: Если под корнем квадратным получится знак (-), то это значит, что при заданных параметрах цепи резонансную частоту подобрать нельзя. В таком случае резонанса токов добиваются изменением элементов цепи. Наиболее простой способ – выровнять активные и реактивные сопротивления ветвей (рисунок 79), т.е. установить

~U R₁ R₂

X_C1 X_L2

Рисунок 79

Методические указания к решению задач 17 – 21

Решение этих задач требует знаний характера нагрузки в ветвях разветвленной цепи переменного тока по взаимному расположению векторов тока ветви и прикладываемого к ней напряжения на векторной диаграмме цепи, методики определения сопротивлений участков и всей ветви, активной и реактивной составляющих тока ветви, тока в неразветвленной части цепи, активной, реактивной и полной мощностей ветвей и всей цепи.

Пример 16

Задана векторная диаграмма разветвленной цепи переменного тока (рисунок 80). Вычертить схему цепи, определить величину и характер нагрузки в ветвях, ток в неразветвленной части цепи, сдвиг фаз между током и напряжением, активную, реактивную и полную мощности цепи по следующим данным:

U = 100; I₁ = 20 A; I₂ = 10 A; ƒ = 50 Гц

I₁

₁= 30 U

₂ =60

I₂

Рисунок 80

Закончить построение векторной диаграммы в масштабе.

Алгоритм решения

1.На векторной диаграмме вектор тока Ī₁ опережает вектор напряжения Ū на угол = 30^◦, следовательно, в первой ветви включена активно-емкостная нагрузка, полное сопротивление которой

Z₁ = = = 5 Ом

2.По таблицам Брадиса В.М. определяем

Cos₁ = Cos 30⁰ = 0,866; Cos₂ = Cos 60 = 0,5

Sin₁ = Sin (-30) = -0,5; Sin₂ = Sin 60 = 0,866

Знак (-) показывает, что напряжение отстает от тока.

3.Активное сопротивление первой ветви

R₁ = Z₁ ∙ Cos₁ = 5∙0,866 = 4,3 Ом

4. Реактивное сопротивление емкости первой ветви

X_C1 = Z₁ ∙ Sin = 5∙(-0,5) = -2,5 Ом

5.На векторной диаграмме вектор тока Ī₂ отстает от вектора напряжения Ū на угол 60^0, следовательно, во второй ветви включена активно- индуктивная нагрузка, полное сопротивление которой

Z₂ = = = 10 Ом

Схема цепи имеет вид (рисунок 81)

I

~U I₁ R₁ R₂ I₂

X_C1 X_L2

Рисунок81

6. Активное сопротивление второй ветви

R₂ = Z₂ ∙ Cos₂ = 10∙0,5 = 5 Ом

7. Индуктивное сопротивление второй ветви

X_L1 = Z₂ ∙ Sin₂ = 10∙0,866 = 8,66 Ом

8. Активные и реактивные составляющие токов ветвей

I_a1 = I₁ ∙ Cos₁ = 20 ∙ 0,866 = 17,32 A

I_p1 = I₁ ∙ Sin₁ = 20 ∙ (-0,5) = -10 A

I_a2 = I₁ ∙ Cos₂ = 10 ∙ 0,5 = 5 A

I_p2 = I₁ ∙ Sin₂ = 10 ∙ 0,866 = 8,66 A

9. Ток в неразветвленной части цепи

I = =

= = 22,36 A

10. Сдвиг фаз между напряжением и током в неразветвленной части цепи

Sin₁ = = = - 0,0599 A

По таблицам Брадиса В.М. находим = - 1,04^0.

Знак (-) показывает, что напряжение отстает от тока.

11. Активные мощности ветвей и всей цепи

P₁ = U∙I₁ ∙Cos₁ = 100 ∙ 20 ∙ 0,866 = 1732 Вт

P₂ = U∙I₂ ∙Cos₂ = 100 ∙ 10 ∙ 0,5 = 500 Вт

P = P₁ +P₂ = 1732 + 500 = 2232 Вт

или P = U ∙ I ∙ Cos = 100 ∙ 22,32 ∙ 0,999 = 2232 Вт,

где Cos = Cos (-1,04) = 0,999

12. Реактивные мощности ветвей и всей цепи

Q₁ = UI₁ ∙ Sin₁ = 100 ∙ 20 ∙ (-0,5) = - 1000 вар

Q₂ = UI₂ ∙ Sin₂ = 100 ∙ 10 ∙ 0,866 = 866 вар

Q = Q₁ + Q₂ = -1000 + 866 = -134 вар

или Q = UI ∙ Sin = 100 ∙ 22,35 ∙ (-0,0599) = - 134вар

13. Полные (кажущиеся) мощности ветвей и всей цепи

S₁ = UI₁ = 100∙20 = 2000 ВА

или S₁ = = = 2000 BA

S₂ = UI₂ = 100∙10 = 1000 ВА

или S₂ = = = 1000 BA

S = UI = 100∙22,36 = 2236 ВА

или S = = =2236 BA

14. Для построения векторной диаграммы задаемся масштабами:

- по напряжению - М_u = 20

- по току - М_I = 4

Вектор тока I в неразветвленной части цепи (рисунок 82) находим векторным сложением токов в ветвях по уравнению:

Ī = Ī ₁ + Ī ₂

I₁

I

U

I₂

Рисунок 82