Правила корректности для оператора суперпозиции

Рассмотрим спецификацию оператора суперпозиции в виде тройки Хоара:

{P(x)} A; B {Q(x, y)} [9]. (2.18)

Предположим, что операторы A и B корректны. Их спецификации представлены тройками:

{P_A(x)} A {Q_A(x, z)}, {P_B(z)} B {Q_B(z, y)}.

Определим правила, гарантирующие корректность оператора суперпозиции (2.18).

Правило LS1. P(x) ├ P_A(x).

Правило LS2. P(x) & Q(x, y) & Q_A(x, z) ├ P_B(z) & Q_B(z, y).

Лемма 2.11. Допустим, спецификация оператора суперпозиции (2.18) реализуема, операторы A и B однозначны в области предусловий и корректны, а их спецификация B однозначна. Если правила LS1 и LS2 истинны, то оператор суперпозиции (2.18) является корректным.

Доказательство. Поскольку операторы A и B однозначны, то и оператор суперпозиции (2.18) является однозначным. В соответствии с теоремой 2.1 для доказательства леммы достаточно доказать истинность формулы:

P(x) & Q(x, y) Þ LS(A; B)(x, y).

В соответствии с (2.1) формула LS(A; B)(x, y) эквивалентна $z.(LS(A)(x, z) & LS(B)(z, y)).

Пусть истинны P(x) и Q(x, y). Докажем истинность $z.(LS(A)(x, z) & LS(B)(z, y)). Из истинности предусловия P(x) по правилу LS1 следует истинность P_A(x). Из корректности оператора A следует истинность формул $z. LS(A)(x, z) и LS(A)(x, z) Þ Q_A(x, z). Допустим для некоторого z₀ истинно LS(A)(x, z₀). Тогда истинно Q_A(x, z₀). В соответствии с правилом LS2 истинна формула P_B(z₀) & Q_B(z₀, y). В соответствии с леммой 2.9 истинна формула

P_B(z) & Q_B(z, y) Þ LS(B)(z, y).

Тогда истинна LS(B)(z₀, y). В итоге, будет истинна формула $z.(LS(A)(x, z) & LS(B)(z, y)). □