Тригонометричні многочлени найкращого наближення

Означення: Тригонометричний многочлен порядку n наз. вираз:

Теорема: (ІІ Теорема Веєрштраса): Якщо f(x) неперервна, періодична з періодом , то має місце:

Лема: Нехай неперервна на , тоді парний тригонометричний поліном , такий що:

Доведення Леми:

Заміна , тоді:

є неперервна на [-1;1].

Згідно теореми Веєрштраса §21 існує таке що

, але

Доводиться з використанням формул Ейлера:

Доведення теореми:

Розглянемо парні періодичні функції:

Згідно Леми існують парні тригонометричні многочлени

;

(1)

(2)

В силу парності нерівності (1) (2) справедливі для , а в силу періодичності на всій числовій осі, тому:

(3)

+

(4)

де

Нерівність (3) (4) домножимо на і sinxі додамо їх:

(5)

Розглянемо функцію

Згідно доведеного існує

(6)

Заміна:

тоді з (6)

(7)

де ,

Додавши (5) і (7):

(8)

Тобто: ,