Умовне математичне сподівання буде розраховуватися за формулою

М(Y/x)= (1.12)

Для характеристики зв'язку між випадковими величинами X та У служить математичне сподівання перетинів відхилень X та Y від їх центрів, яке називають коваріацією і обчислюють за формулою

сov(X, Y) = М[(Х-М(Х)) (Y-М(Y))] (1.13)

або

cov(X,Y)= М(Х Y)-М(Х)*M(Y).

Якщо врахувати імовірнісний зміст математичного сподівання, то умовне математичне сподівання можна записати так:

у(х)= M(Y/X)=

Отже, за даною формулою ми можемо розглядати функцію, яку називають регресією Y по X.

Незважаючи на те, що при кожному значенні X - х величина У є випадковою і допускає розсіювання своїх значень, часто може виявитися, що залежність у(х) є близькою до функціональної. Графік залежності у(х) носить назву кривої регресії.

Коефіцієнт кореляції розраховується за формулою:

ρ(X,Y)= cov(X,Y)/ σ_x σ_y (1.14)

Мале значення коефіцієнта кореляції вказує на те, що зв'язку між умовами Х та Y майже немає.

Розглянемо двовимірну випадкову величину (X,Y) іпару дійсних чисел (х,у). Ймовірність події, що X прийме значення, менше ніж х і при цьому Y прийме значення, менше ніж у, позначимо через F(x,y).

Функцією розподілу двовимірної випадкової величини (X,Y) називають ймовірність

F(x,y)=P(X<x,Y<y)

Як і в одномірному випадку, двовимірну випадкову величину можна задавати за допомогою щільності розподілу.

Щільністю сумісного розподілу ймовірностей f(x,y) двовимірної випадкової величини (X, У) називають другу змішану похідну від функції розподілу F(x,y):

f(x,y)=d²F(x,y)/дхду

Виходячи з означення щільності розподілу, можна вирішити і обернену задачу: за функцією f(x,y) знайти функцію розподілу F(x,y).

Це можна зробити за допомогою формули

F(x,y)= (1.15)

Для того, щоб випадкові величини X та Y були незалежними, необхідно і достатньо, щоб функція розподілу системи (X, Y) була рівна функцій розподілу X та Y:

F(x,y)=F(x)F(y)

1: Дві випадкові величини називають незалежними, якщо функція розподілу системи цих величин дорівнює добутку розподілу складових Якщо випадкові величини X і Y незалежні, то

cov(x,y)=0

2: Із означення коваріаціївидно, що вона має розмірність рівну добутку розмірностей величин X та Y. Це означає, що величина коваріації залежить від одиниць вимірювання випадкових величин. З тієї причини для одних і тих же величин величина коваріації може мати різні значення в залежності від того, в яких одиницях вони виміряні.

Для того, щоб усунути це для системи двох величин вводять нову числову характеристику— коефіцієнт кореляції за формулою:

r_xyy=cov(X,Y)/(σ_x σ_y) (1.16)

Для випадкових величин X та Y має місце нерівність:

σ(X)σ(Y)

Дві випадкові величини X та Y називають корельованими, якщо їх коваріація (або, що те саме, коефіцієнт кореляції) відмінна від нуля і некорельованими, якщо їх коваріація дорівнює нулю.

Дві корельовані величини є завжди залежними. Зворотне твердження не завжди справедливе, тобто залежні величини можуть бути, як корельованими так і некорельованими. [11]