Интерполирование функции многочленом Ньютона

Пример:

Даны значения функции f(x)= на отрезке [1; 1,2].

а) Интерполировать функцию многочленом Ньютона (первая интерполяционная формула) и найти значение функции в точке x =1,13. Дать оценку точности интерполяции.

б) Интерполировать функцию многочленом Ньютона (вторая интерполяционная формула) и найти значение функции в точке x =1,13. Дать оценку точности интерполяции.

xi		1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
	2,7183	2,7732	2,8292	2,8864	2,9447	3,0042	3,0649	3,1268	3,1899	3,2544	3,3201

Решение:

а) Шаг h=x_i-x_i-1 =0,02

Сначала вычислим ∆ y_i по формуле: ∆ y_i = y_i+1 – y_i.

Затем ∆² y_i по формуле: ∆² y_i =∆ y_i+1– ∆ y_i

_…

∆^j y_i =∆^j-1 y_i+1– ∆^j-1 y_i

Далее для всех i вычислим значения i!hⁱ и по формуле найдём коэффициенты интерполяционного многочлена Ньютона.

.

Подставим в данную формулу точку x =0,98 и коэффициенты a_i, найденные ранее. Получим приближённое значение функции f(x)= в точке x =1,13.

Все вычисления приведены в таблице.

i	xi	yi	∆ y0	∆2 y 0	∆3y0	∆4y0	∆5y0	∆6y0	∆7y0	∆8y0	∆9y0	∆10y0	i!hi	ai	x-xi
		2,7183	0,0549	0,0011	1E-04	-0,0002	0,0004	-0,0007	0,0011	-0,0016	0,0024	-0,0045		2,7183	0,13
	1,02	2,7732	0,056	0,0012	-1E-04	0,0002	-0,0003	0,0004	-0,0005	0,0008	-0,0021	-	0,02	2,745	0,11
	1,04	2,8292	0,0572	0,0011	1E-04	-1E-04	1E-04	-1E-04	0,0003	-0,0013	-	-	0,0008	1,375	0,09
	1,06	2,8864	0,0583	0,0012	4,44E-16	-1,3E-15	3,55E-15	0,0002	-0,001	-	-	-	0,000048	2,0833	0,07
	1,08	2,9447	0,0595	0,0012	-8,9E-16	2,22E-15	0,0002	-0,0008	-	-	-	-	3,84E-06	-52,0833	0,05
	1,1	3,0042	0,0607	0,0012	1,33E-15	0,0002	-0,0006	-	-	-	-	-	3,84E-07	1041,6667	0,03
	1,12	3,0649	0,0619	0,0012	0,0002	-0,0004	-	-	-	-	-	-	4,61E-08	-15190,9722	0,01
	1,14	3,1268	0,0631	0,0014	-0,0002	-	-	-	-	-	-	-	6,45E-09	170510,9127	-0,01
	1,16	3,1899	0,0645	0,0012	-	-	-	-	-	-	-	-	1,03E-09	-1550099,21	-0,03
	1,18	3,2544	0,0657	-	-	-	-	-	-	-	-	-	1,86E-10	12917493,39	-0,05
	1,2	3,3201	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	3,72E-11	-121101500
	1,13													N(x)=	3,0957

Оценим погрешность интерполяции по формуле , где

; .

Из данной формулы видно, что точность метода достаточно высока.

а) Шаг h=x_i-x_i-1 =0,02

Сначала вычислим ∆ y_i по формуле: ∆ y_i = y_i+1 – y_i.

Затем ∆² y_i по формуле: ∆² y_i =∆ y_i+1– ∆ y_i

_…

∆^j y_i =∆^j-1 y_i+1– ∆^j-1 y_i

Далее для всех i вычислим значения i!hⁱ и по формуле найдём коэффициенты интерполяционного многочлена Ньютона.

.

Подставим в данную формулу точку x =1,13 и коэффициенты a_i, найденные ранее. Получим приближённое значение функции f(x)= в точке x =1,13.

Все вычисления приведены в таблице.

i	xi	yi	∆ y0	∆2 y 0	∆3y0	∆4y0	∆5y0	∆6y0	∆7y0	∆8y0	∆9y0	∆10y0	i!hi	ai	x-xi
		2,7183	0,0549	0,0011	1E-04	-0,0002	0,0004	-0,0007	0,0011	-0,0016	0,0024	-0,005		3,3201
	1,02	2,7732	0,056	0,0012	-1E-04	0,0002	-0,0003	0,0004	-0,0005	0,0008	-0,0021	-	0,02	3,285	0,11
	1,04	2,8292	0,0572	0,0011	1E-04	-1E-04	1E-04	-1E-04	0,0003	-0,0013	-	-	0,0008	1,5	0,09
	1,06	2,8864	0,0583	0,0012	4,44E-16	-1,3E-15	3,55E-15	0,0002	-0,001	-	-	-	0,000048	-4,166667	0,07
	1,08	2,9447	0,0595	0,0012	-8,9E-16	2,22E-15	0,0002	-0,0008	-	-	-	-	3,84E-06	-104,1667	0,05
	1,1	3,0042	0,0607	0,0012	1,33E-15	0,0002	-0,0006	-	-	-	-	-	3,84E-07	-1562,5	0,03
	1,12	3,0649	0,0619	0,0012	0,0002	-0,0004	-	-	-	-	-	-	4,61E-08	-17361,11	0,01
	1,14	3,1268	0,0631	0,0014	-0,0002	-	-	-	-	-	-	-	6,45E-09	-155009,9	-0,01
	1,16	3,1899	0,0645	0,0012	-	-	-	-	-	-	-	-	1,03E-09	-1259456	-0,03
	1,18	3,2544	0,0657	-	-	-	-	-	-	-	-	-	1,86E-10	-11302807	-0,05
	1,2	3,3201	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	3,72E-11	-1,21E+08	-0,07
	1,13													N(x)=	3,0957

Оценим погрешность интерполяции по формуле , где

; .

Из данной формулы видно, что точность метода достаточно высока.

Задания:

Даны значения функции f(x) на отрезке [1; 1,2]. Интерполировать функцию многочленом Ньютона (первая и вторая интерполяционные формулы) и найти значение функции в точке x =1,13. Дать оценку точности интерполяции.

1)

xi		1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
	0,3679	0,3606	0,3535	0,3465	0,3396	0,3329	0,3263	0,3198	0,3135	0,3073	0,3012

2)

xi		1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
shxi	1,1752	1,2063	1,2379	1,27	1,3025	1,3356	1,3693	1,4035	1,4382	1,4735	1,5095

3)

xi		1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
chxi	1,5431	1,5669	1,5913	1,6164	1,6421	1,6685	1,6956	1,7233	1,7517	1,7808	1,8107

4)

xi		1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
sinxi	0,8415	0,8521	0,8624	0,8724	0,8820	0,8912	0,9001	0,9086	0,9168	0,9246	0,9320

5)

xi		1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
cosxi	0,5403	0,5234	0,5062	0,4889	0,4713	0,4536	0,4357	0,4176	0,3993	0,3809	0,3624

6)

xi		1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
lnxi	0,0000	0,0198	0,0392	0,0583	0,0770	0,0953	0,1133	0,1310	0,1484	0,1655	0,1823

7)

xi		1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
tgxi	1,5574	1,6281	1,7036	1,7844	1,8712	1,9648	2,0660	2,1759	2,2958	2,4273	2,5722

8)

xi		1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
ctgxi	0,6421	0,6142	0,5870	0,5604	0,5344	0,5090	0,4840	0,4596	0,4356	0,4120	0,3888

9)

xi		1,02	1,04	1,06	1,08	1,1	1,12	1,14	1,16	1,18	1,2
log2xi	0,0000	0,0286	0,0566	0,0841	0,1110	0,1375	0,1635	0,1890	0,2141	0,2388	0,2630

10)