Средства обеспечения дисциплины 2 страница

Кроме того, для описания движения необходимо отсчитывать время.

Как и всякая физическая величина, время количественно характеризуется некоторыми числами. Задача прежде всего состоит в том, чтобы выяснить, с помощью каких принципиальных измерительных операций эти числа могут быть получены. Тем самым устанавливается и точный смысл самих этих чисел.

Под временем в количественном смысле этого слова мы будем понимать показания каких-то часов. Точнее, надо говорить не о самом времени, а о промежутке времени между двумя событиями или моментами времени. Он характеризуется разностью показаний часов в рассматриваемые моменты времени. Когда говорят просто о времени, не указывая оба момента, являющиеся границами рассматриваемого промежутка времени, то предполагают, что один из этих моментов фиксирован и условно принят за начальный. От него и ведется отсчет времени. Часы здесь понимаются в более широком смысле слова, чем в обыденной жизни. Под часами понимают любое тело или систему тел, в которых совершается периодический процесс, служащий для измерения времени. Примерами таких процессов могут служить колебание – маятника с постоянной амплитудой, вращение Земли вокруг собственной оси относительно Солнца или звезд, колебания атома в кристаллической решетке, колебания электромагнитного поля, представляемого достаточно узкой спектральной линией, и пр. Так, если между двумя событиями Земля при вращении относительно звезд сделала один оборот, то говорят, что промежуток времени между этими двумя событиями составляет звездные сутки. Если при этом она совершила 10 оборотов, то соответствующий промежуток времени будет 10 звездных суток, и т.д. Если в течение звездных суток маятник совершил приблизительно 86 164 колебания, то говорят, что период одного колебания составляет одну секунду, и т.д. От звездных суток следует отличать солнечные сутки. Так называется промежуток времени, в течение которого Земля делает один оборот при вращении вокруг собственной оси относительно Солнца. Ввиду того, что Земля движется вокруг Солнца не по круговой, а по эллиптической орбите, это ее движение не совсем равномерно. Это значит, что солнечные сутки изо дня в день несколько изменяются в течение года. Поэтому при измерении времени пользуются так называемыми средними солнечными сутками. Они составляют 24 часа = 24 • 60 = 1440 минут = 1440 - 60 = 86 400 секунд.

К часам предъявляют требование, чтобы они шли «равномерно». Но что значит «часы идут равномерно»? Говорят, это означает, что периодический процесс, служащий для отсчета времени, должен повторяться через строго одинаковые промежутки времени. Однако это не есть ответ на вопрос, так как убедиться в одинаковости следующих друг за другом промежутков времени можно только в том случае, когда мы уже располагаем равномерно идущими часами. Выйти из этого логического круга можно только путем определения, так как никакого априорного представления о равномерном течении времени не существует. Надо условиться считать какие-то часы по определению равномерно идущими. Такие часы должны рассматриваться как эталонные или основные часы, по которым должны градуироваться все остальные.

В принципе любые часы могут быть приняты за эталонные. Однако так поступать не целесообразно. Эталонные часы должны быть достаточно «хорошими» и прежде всего обладать высокой воспроизводимостью. Это означает, что если изготовить с возможной тщательностью много «одинаковых» эталонных часов, то они с большой точностью должны идти одинаково, независимо от того, изготовлены ли они одновременно, или между моментами их изготовления прошло длительное время. Например, песочные часы дают несравненно худшую воспроизводимость, чем маятниковые часы.

Не так давно за основные или эталонные часы принимались «астрономические часы». Долгое время основными часами служила Земля, вращающаяся вокруг собственной оси относительно звезд, а основной единицей времени – сутки. Недавно вместо осевого вращения Земли стали пользоваться ее орбитальным движением вокруг Солнца, принимая за основную единицу времени тропический год, т.е. промежуток времени между двумя последовательными прохождениями центра Солнца через точку весеннего равноденствия. При измерении времени таким путем достигалась лучшая воспроизводимость. Но еще лучшая воспроизводимость была достигнута после изобретения кварцевых, молекулярных и атомных часов.

Все эти часы представляют довольно сложные радиотехнические устройства. Здесь нет необходимости останавливаться на принципах действия и деталях устройства таких часов. Достаточно заметить, что роль маятника или балансира, регулирующих ход часов, выполняют в кварцевых часах колебания кристаллической решетки кварца, в молекулярных часах – колебания атомов в молекулах, в атомных часах – колебания электромагнитного поля в узких спектральных линиях атомов некоторых изотопов химических элементов, находящихся в точно определенных и строго контролируемых внешних условиях. Особой стабильностью обладают последние из отмеченных колебаний. Поэтому период именно таких колебаний в настоящее время и принимается в качестве основной единицы времени, с помощью которой воспроизводится секунда. Конкретно, секунда – это промежуток времени, в течение которого совершается 9 192 631 770 колебаний электромагнитного излучения, соответствующего переходу между двумя определенными сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133 в отсутствие внешних полей.

С помощью кварцевых, молекулярных и атомных часов было показано, что Земля вокруг своей оси вращается «неравномерно».

Воспользуемся для описания движения точки декартовой прямоугольной системой координат, начало которой (точка О) связано с какой-либо системой отсчета (на рисунке обозначение осей ) должно соответствовать «правой тройке».

Рис.2.1.

Положение точки А в данный момент времени по отношению к этой системе координат характеризуется тремя координатами х, у и z или радиусом-вектором , проведенным из начала системы координат в данную точку (рис.2.1). Если точка движется, то каждому последующему моменту времени будут соответствовать новые значения координат х, у и z:

(2.1)

Уравнения (2.1) называют скалярными кинематическими уравнениями движения или уравнениями движения материальной точки в параметрическом виде, где время служит в качестве параметра.Они определяют движение материальной точки координатным способом.

Координаты х, у и z являются проекциями радиуса-вектора на координатные оси, а потому:

, (2.2)

где координатные орты, т.е. единичные векторы, направленные вдоль осей координат х, у и z.

В любой момент времени длина радиуса-вектора определяется из выражения: .

Зависимость (2.3)

есть векторное кинематическое уравнение движения материальной точки.

Каждую из приведенных формул (2.1) и (2.3) называют также кинематическим законом д вижения материальной точки. Для полного описания движения точки достаточно знать кинематические законы движения.

2. Скорость и ускорение при прямолинейном движении

Линию, которую описывает материальная точка при своем движении в пространстве, называют траекторией. В зависимости от формы траектории движение может быть прямолинейным или криволинейным. Исключив из (2.4) или (2.7) время, можно определить уравнение траектории.

Расстояние, пройденное по траектории, называется путем. Обозначается как . Путь всегда выражается положительным числом. Поэтому пути, пройденные за отдельные промежутки времени, в течение которых материальная точка не изменяет направления своего движения, складываются арифметически.

Отрезок прямой, проведенный из начального положения материальной точки в конечное, называется перемещением. Перемещение обозначается как или . Кроме числового значения перемещение характеризуется также и направлением. Следовательно, перемещение – векторная величина. Поэтому перемещения складываются геометрически.

Пусть материальная точка движется вдоль прямой линии. Примем эту прямую за координатную ось Х, поместив начало координат О в какой-то произвольной ее точке. Положение материальной точки в рассматриваемом случае определяется одной координатой:

(2.4)

При прямолинейном движении вектор перемещения совпадает с соответствующим участком траектории и длина пути равна модулю перемещения, т.е. .

Пусть в какой-то фиксированный момент времени материальная точка находится в положении . В этот момент времени ее координата равна . В более поздний момент времени материальная точка переместится в положение с координатой . За время материальная точка проходит путь . Он считается положительным, если перемещение совершается вправо, и отрицательным, если перемещение совершается влево. Отношение пройденного пути к промежутку времени называется средней скоростью материальной точки за время . Таким образом, по определению средняя скорость равна

(2.5)

Такое определение средней скорости имеет смысл для любых как угодно малых значений , но отличных от нуля.

Вообще, средняя скорость зависит не только от , но и от . Теперь, оставляя момент времени неизменным, промежуток времени будем брать все меньше и меньше, устремляя его к нулю. Тогда к нулю будет стремиться и пройденный путь . Как показывает опыт, отношение при этом будет стремиться к вполне определенному пределу, который может зависеть только от , но уже не будет зависеть от . Этот предел называется истинной или мгновенной скоростью материальной точки в момент времени :

(2.6)

В математике предел, определяемый формулой (2.6), называется производной функции по аргументу . Таким образом, по определению производной следует, что истинная или мгновенная скорость материальной точки есть производная координаты по времени, или производная пройденного пути s по времени:

(2.7)

Если за равные, сколь угодно малые промежутки времени материальная точка проходит одинаковые пути, движение материальной точки называется равномерным. Разделив путь s на время , за который он пройден, получим величину

, (2.8)

которую в обыденной жизни называют скоростью материальной точки. Она в данном случае совпадает с мгновенной скоростью.

Если движение неравномерное, величина, получаемая делением s на время , дает среднее значение скорости за промежуток времени :

(2.9)

Скорость материальной точки, вообще говоря, является функцией времени: .

Зная мгновенную скорость, можно вычислить путь, пройденный материальной точкой от момента времени до момента по формуле

(2.10)

С учетом данного выражения можно получить формулу для средней скорости:

(2.11)

Производная скорости по времени называется ускорением материальной точки. Ускорение мы обозначим через а. Таким образом, по определению ускорения

, (2.12)

или

(2.13)

Производная (2.12) называется также второй производной координаты x или пути s по времени и обозначается символами

(2.14)

В общем случае ускорение является функцией времени .

При равноускоренном движении .

В существовании производных координаты по времени убеждаемся опытным путем, а не путем логических рассуждений.

Контрольные вопросы

1. Что называется механическим движением? Перечислите свойства механического движения.

2. Что такое система отсчета?

3. Как выбрать систему координат?

4. Как определить точное время?

5. Что такое траектория? В чем отличие уравнения траектории от уравнения движения?

6. Что такое перемещение? Всегда ли модуль перемещения равен отрезку пути, пройденного точкой?

7. Дайте определение средней скорости и среднего ускорения, мгновенной скорости и мгновенного ускорения.

8. Можно ли получить выражения для мгновенной скорости и мгновенного ускорения из кинематических уравнений движения?

9. Выясните физический смысл формулы (2.10), определяющей путь.

10. Выясните физический смысл средней скорости?

11. Начертите графики пути и скорости равномерного движения.

12. Начертите графики пути, скорости и ускорения материальной точки при равноускоренном движении.

13. Используя выражения (2.7) и (2.14), получите зависимости пути и изменения координаты от времени.

Лекция №3. Кинематика материальной точки
при криволинейном движении

1. Скорость материальной точки при криволинейном движении

Понятия скорости и ускорения естественным образом обобщаются на случай движения материальной точки по криволинейной траектории.

Пусть при своем движении материальная точка, занимавшая положение А в момент времени , через некоторое время оказалась в положении В.

Z

B

A

r ₁

r₂

О y

X

Рис.3.1.

Выберем декартовую систему координат. Пусть моменту времени соответствует радиус-вектор , а моменту времени - , тогда за промежуток времени тело получит перемещение

(3.1)

Отношение перемещения к промежутку времени , за который это перемещение произошло, называется средней скоростью за промежуток времени от t до :

(3.2)

Величина вектора средней скорости показывает, как быстро (в среднем) происходит перемещение точки, а его направление определяет, в какую сторону происходит перемещение.

Однако знание перемещения и средней скорости не дает достоверной информации о характере движения и виде траектории. Более детальное описание движения мы получим, если разделим путь на ряд последовательных перемещений. При уменьшении этих перемещений будет уменьшаться и величина промежутка времени, следовательно, отношение (3.2) будет стремиться к определенному пределу. Скоростью (точнее мгновенной скоростью) материальной точки в данной точке траектории в данный момент времени называется предел отношения (3.2) при :

(3.3)

Из этого определения следует, что:

- скорость есть векторная величина;

- скорость в каждой точке траектории направлена по касательной к ней в ту сторону, куда движется точка; заметим, чтопри равномерном движении скорость, изменяясь как угодно по направлению, остается постоянной по модулю;

Рис.3.2.

-
скорость представляет собой первую производную перемещения по времени;

- скорость является первой производной радиус-вектора по времени;

- величина скорости равна первой производной пути по времени;

- вектор скорости можно представить в виде

, (3.4)

или ; (3.5)

- составляющие вектора скорости по координатным осям равны:

, , , (3.6)

т.е. скорости движения проекций точки вдоль координатных осей равны проекциям вектора скорости на соответствующие оси;

- величина скорости равна

; (3.7)

- для нахождения закона движения по известной зависимости вектора скорости от времени необходимо интегрировать уравнения (3.3). Например, если известна скорость вдоль оси Ох, то закон движения вдоль этой оси имеет вид:

(3.8)

где – координата точки в начальный момент времени.

Если движение равномерное, т.е. , то в силу выражения (3.8)

(3.9)

2. Ускорение материальной точки при криволинейном движении

В общем случае (и чаще всего) при движении материальной точки скорость меняется как по величине, так и по направлению. Пусть в момент времени материальная точка двигалась со скоростью , а при – скоростью . Перенесем начало вектора скорости из точки В в точку А, сохраняя величину и направление вектора . Тогда приращение скорости (рис.3.3).

Δ υ_τ

υ ₁

A

Δv

Δ S

B

Δυ_n υ₂

υ₂

Рис. 3.3.

Среднее ускорение на отрезке траектории между А и В:

(3.10)

Величина вектора среднего ускорения показывает, как быстро (в среднем) происходит изменение скорости точки, а направление его совпадает с направлением вектора изменения скорости, т.е. направлено под углом к траектории в сторону её вогнутости.

Однако знание перемещения и средней скорости не дает достоверной информации о характере движения в данной точке пространства. Поэтому нужно уменьшить промежуток времени. При его уменьшении будет уменьшаться и величина вектора приращения скорости, следовательно, отношение (3.10) будет стремиться к определенному пределу. Ускорением (точнее мгновенным ускорением) материальной точки в данной точке траектории в данный момент времени называется предел отношения ( 3.10 ) при :

(3.11)

Из этого определения следует, что:

- ускорение есть векторная величина;

- ускорение направлено под углом к траектории в сторону её вогнутости;

- ускорение представляет собой первую производную вектора скорости по времени;

- ускорение представляет собой вторую производную радиус-вектора по времени; это следует из формул (3.11) и (3.3);

- вектор ускорения можно представить в виде

, (3.12)

, (3.13)

или ; (3.14)

- составляющие вектора скорости по координатным осям равны:

, , ;(3.15)