Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Основные понятия
1. Пусть дан радиус-вектор , концом которого является точка A (x; y; z). Выражая этот вектор через проекции на оси координат, получим
. (1)
Пусть проекции вектора есть функции некоторого параметра t:
(2)
тогда формула (1) примет вид
или коротко . (3)
При изменении t изменяются x, y, z – координаты точки А и, следовательно, изменяется вектор по величине и по направлению, поэтому вектор называют вектор-функцией скалярного аргумента t.
Линию в пространстве, которую описывает точка А – конец вектора называют годографом этого вектора. Уравнения (2) называются параметрическими уравнениями линии в пространстве, а уравнение (3) – векторным уравнением линии в пространстве.
2. Пусть , , , тогда говорят, что вектор есть предел вектора , и пишут
. (4)
3. Производной вектор-функции по скалярному аргументу t называют предел отношения приращения вектор-функции к приращению D t скалярного аргумента t, т. е.
(5)
и обозначают символом или .
Таким образом, по определению
. (6)
4. Производная вектор-функции является новой вектор-функцией и называется производной первого порядка. Производная от производной называется производной второго порядка и обозначается или , т. е.
. (7)
Аналогично определяются производные вектор-функций более высоких порядков. Производные вектор-функций порядка старше первого называются производными высших порядков.
5. Касательная к пространственной кривой определяется так же как и в случае плоской кривой. Так как производная – это вектор, направленный по касательной к пространственной кривой в точке касания M (x (t 0); y (t 0); z (t 0)), то уравнения касательной к кривой в этой точке (при t = t 0) имеют вид:
. (8)
6. Так же как и в случае плоской кривой, прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания, называется нормалью к пространственной кривой в данной точке. Нормалей к данной пространственной кривой в данной точке можно провести бесчисленное множество. Все они лежат в плоскости, перпендикулярной к касательной прямой. Эта плоскость называется нормальной плоскостью. Уравнение нормальной плоскости к кривой в точке t = t 0 имеет вид:
. (9)
7. Пусть дана кривая, которая не пересекает саму себя и имеет касательную в каждой своей точке. Проведем две касательные к кривой в некоторых точках А и В и обозначим через j угол поворота касательной при переходе от точки А к точке В (рис. 4). Этот угол называется углом смежности дуги АВ. У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута та дуга, у которой угол смежности больше. С другой стороны, степень искривленности дуг различной длины не характеризуется только соответствующим углом смежности. Для этого используют кривизну линии, которая характеризует форму кривой, степень ее искривленности, изогнутости.
Рис. 4
Кривизной пространственной кривой в точке А называется предел отношения угла смежности j к длине дуги АВ = Ds, когда длина этой дуги стремится к нулю (когда точка В приближается к точке А), т. е.
, (10)
где величина R, обратная кривизне линии в данной точке, называется радиусом кривизны в этой точке.
Кривизна пространственной линии в точке t = t 0 определяется по формуле:
, (11)
где , .
4.2. Контрольные задания
1. Дано комплексное число z. Требуется:
1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах;
2) найти .
1. . 2. . 3. .
4. . 5. . 6. .
7. . 8. . 9. .
10. .
2. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
1. 1) при: а) ; б) ; в) ;
2) ; 3) .
2. 1) при: а) ; б) ; в) ;
2) ; 3) .
3. 1) при: а) ; б) ; в) ;
2) ; 3) .
4. 1) при: а) ; б) ; в) ;
2) ; 3) .
5. 1) при: а) ; б) ; в) ;
2) ; 3) .
6. 1) при: а) ; б) ; в) ;
2) ; 3) .
7. 1) при: а) ; б) ; в) ;
2) ; 3) .
8. 1) при: а) ; б) ; в) ;
2) ; 3) .
9. 1) при: а) ; б) ; в) ;
2) ; 3) .
10. 1) при: а) ; б) ; в) ;
2) ; 3) .
3. Задана функция y = f (x). Построить схематически график функции, вычислив пределы слева и справа в точке разрыва и предел на бесконечности.
1. . 2. . 3. .
4. . 5. . 6. .
7. . 8. . 9. .
10. .
4. Найти производные заданных функций.
1. 1) ; 2) ;
3) .
2. 1) ; 2) ;
3) .
3. 1) ; 2) ;
3) .
4. 1) ; 2) ;
3) .
5. 1) ; 2) ;
3) .
6. 1) ; 2) ;
3) .
7. 1) ; 2) ;
3) .
8. 1) ; 2) ;
3) .
9. 1) ; 2) ;
3) .
10. 1) ; 2) ;
3) .
5. Найти производные и функции, заданной параметрически.
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10.
6. Провести полное исследование функции и построить ее график.
1. . 2. . 3. .
4. . 5. . 6. .
7. . 8. . 9. .
10. .
7. Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии в точке t 0.
1. , .
2. , .
3. , .
4. , .
5. , .
6. , .
7. , .
8. , .
9. , .
10. , .
4.3. Пример решения контрольной работы
Задание 1. Дано комплексное число . Требуется:
1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах;
2) найти .
Решение. 1) Для записи комплексного числа в алгебраической форме z = x + yi умножим числитель и знаменатель дроби на выражение 1 + i, сопряженное знаменателю и упростим:
.
Для записи числа в тригонометрической форме z = r (cos j+sin j× i) найдем r и j:
,
.
Следовательно, получим .
2) Воспользуемся формулой Муавра:
, где k = 0, 1, 2, …, n – 1.
Полагая k = 0, 1, 2, получим:
;
;
.
Это означает, что число имеет три различных значения.
Ответ: 1) – алгебраическая форма комплексного числа, – тригонометрическая форма комплексного числа; 2) , ,
.
Задание 2. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
1)
2) ; 3) .
Решение. 1) Данный предел в зависимости от значений вычисляется разными способами.
а) . Найдем значения функций, стоящих в числителе и в знаменателе дроби, в точке : . Так как полученные значения конечны и отличны от нуля, то по теореме о пределе частного, учитывая непрерывность функций, предел равен значению частного в предельной точке: ;
б) . Найдем новые значения и в точке : . Так как числитель и знаменатель дроби оба равны нулю, то заданное отношение в точке является неопределенностью вида и применять теорему о пределе частного нельзя. Для нахождения предела в этом случае выделим в числителе и знаменателе критический множитель , создающий неопределенность вида при . С этой целью найдем корни уравнений и , затем разложим квадратные трехчлены на линейные множители и после сокращения дроби на общий критический множитель найдем предел оставшегося выражения, применяя теорему о пределе частного как в случае пункта а):
;
в) . При имеем и , т. е. заданное отношение при является неопределенностью вида и теорему о пределе частного применять нельзя. Для нахождения в этом случае предела дроби опять выделим в числителе и знаменателе критический множитель, который представляет собой старшую степень переменной . В данном случае это есть . После сокращения дроби на критический множитель применим теорему о пределе частного и следующие равенства, известные из теории пределов: , , .
Получим:
.
2) Найдем значения функций и , стоящих в числителе и знаменателе дроби, в точке : , . Следовательно, заданное отношение при является неопределенностью вида . Для нахождения предела отношения выделим в числителе и в знаменателе критический множитель , создающий неопределенность, и сократим на него дробь. С этой целью умножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное знаменателю и используем формулу сокращенного умножения разности квадратов: :
.
По теореме о пределе корня , получим:
.
3) . Найдем значения функций и в точке : и . Следовательно, заданное отношение представляет собой при неопределенность вида . Вычислим этот предел, применяя формулу первого замечательного предела: и равенство , вытекающее из непрерывности в точке функции . С этой целью преобразуем заданный предел следующим образом:
.
Ответ: 1), а) ; б) ; в) . 2) . 3) 3.
Задание 3. Задана функция . Построить схематически график функции, вычислив пределы слева и справа в точке разрыва и предел на бесконечности.
Решение. Рассмотрим точку х = 1. Найдем пределы слева и справа функции в данной точке:
,
.
Так как предел справа равен бесконечности, то х = 1 – точка разрыва второго рода.
Предел функции на бесконечности равен:
.
Строим схематически график функции , используя полученные результаты (рис. 5).
Рис. 5
Задание 4. Найти производные заданных функций.
1) ; 2) ;
3) .
Решение. 1) .
Используем правило дифференцирование суммы и правила дифференцирования сложной функции вида , где , а также таблицу производных. Получим:
.
2) .
Используем правило дифференцирование суммы и правила дифференцирования сложных функций вида
,
где , а также таблицу производных. Получим:
.
3) .
Используем правило дифференцирования суммы , правило дифференцирования произведения и правила дифференцирования сложных функций вида
,
где , а также таблицу производных. Получим:
.
Ответ: 1) ; 2) ; 3) .
Задание 5. Найти производные и функции заданной параметрически.
Решение. Производная функции , заданной параметрически, вычисляется по формуле:
.
Вторую производную найдем по формуле:
.
Ответ: , .
Задание 6. Провести полное исследование функции и построить ее график.
Решение. 1) Найдем область определения, интервалы непрерывности и точки разрыва функции.
Функция определена на всей числовой оси, кроме точки , т. е. . В каждой точке области определения функция непрерывна. Точка есть точка разрыва функции, т. к. знаменатель функции в этой точке равен нулю, а числитель отличен от нуля.
2) Выясним четность, нечетность и периодичность функции.
, т. е. . Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
Функция непериодична, т. к. , где Т – некоторое действительное число.
3) Найдем асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные и наклонные):
Так как точка оси Ox есть точка разрыва функции, то прямая линия , перпендикулярная оси Ox, есть вертикальная асимптота графика. Исследуем поведение графика функции вблизи вертикальной асимптоты по односторонним пределам функции. Возьмем слева от точки близкое значение, например, и вычислим в нем значение функции и ее знак:
.
Так как это значение отрицательно, и функция слева от точки непрерывна, то она сохраняет знак и .
Теперь возьмем справа от точки близкое значение, например, :
.
Так как это значение положительно, и функция справа от точки непрерывна, то при переходе к пределу функция сохраняет знак и .
Таким образом, слева от точки функция отрицательна, а справа от точки – положительна и имеет односторонние пределы, равные бесконечности. Такая точка называется точкой разрыва второго рода (или точкой бесконечного разрыва функции);
б) Горизонтальные асимптоты.
Для нахождения горизонтальной асимптоты нужно найти предел функции при , раскрывая неопределенность вида . Если существует конечный предел , то прямая, определяемая уравнением , есть горизонтальная асимптота графика. Если же этот предел равен бесконечности, то горизонтальной асимптоты нет. Найдем предел:
.
Предел равен бесконечности, значит горизонтальной асимптоты нет;
в) Наклонные асимптоты.
Наклонная асимптота имеет уравнение прямой линии с угловым коэффициентом вида , где , . Если , то наклонной асимптоты не существует.
Найдем оба указанных предела для заданной функции:
,
.
Таким образом, график имеет наклонную асимптоту .
4) Найдем интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремумы функции.
Находим сначала первую производную функции:
.
Так как точка , в которой не существует, не принадлежит области определения функции, то критическими точками первого рода являются лишь точки, в которых или , т. е. .
Критические точки и точка разрыва разбивают ось Ox на 4 интервала монотонности функции. По знаку производной в этих интервалах определяем интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума и экстремумы функции. Полученные данные заносим в табл. 1.
Таблица 1
+ | – | не сущ. | – | + | |||
ä | –8 max | æ | не сущ. | æ | min | ä |
5) Найдем интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба.
Находим сначала вторую производную функции:
.
Так как точка не принадлежит области определения функции и , то критических точек второго рода нет.
Точка разрыва разбивают числовую ось Ox на 2 интервала, в которых по знаку второй производной определяем интервалы выпуклости и вогнутости графика. Полученные данные заносим в табл. 2.
Таблица 2
– | не сущ. | + | |
Ç выпуклый | не сущ. | È вогнутый |
6) Находим точки пересечения графика функции с осями координат, решая две системы уравнений.
С осью Ox: А (1; 0) – точка пересечения графика с осью Ox.
С осью Oy: В (0; 1) – точка пересечения графика с осью Oу.
7) Используя результаты исследования, строим график функции в такой последовательности: а) строим вертикальную асимптоту и наклонную асимптоту , подписываем их; б) изображаем максимум функции в точке и минимум в точке ; в) наносим на осях точки А (1; 0) и В (0; 1) пересечения графика с осями координат; г) нанесенные на плоскость точки соединяем гладкими линиями с учетом табл. 1 и 2 и поведения функции вблизи асимптот (рис. 6).
Задание 7. Найти уравнения касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии в точке t 0 = 1.
Решение. 1)Для составления уравнений касательной в точке t 0 = 1 воспользуемся формулой . Имеем:
, , ;
, ;
, ;
, .
Таким образом, получим: .
Рис. 6
2) Запишем уравнение нормальной плоскости в точке t 0 = 1 по формуле и упростим:
или или .
3) Для нахождения кривизны линии в точке t 0 = 1 применим формулу , где , . Имеем:
;
;
,
;
,
.
Таким образом, окончательно получим: .
Ответ: 1) – уравнения касательной в точке t 0 = 1; 2) – уравнение нормальной плоскости в точке t 0 = 1.
4.4. Вопросы для самопроверки
1. Основные понятия о комплексных числах. Геометрическое изображение комплексного числа. Тригонометрическая и показательная формы записи комплексных чисел.
2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.
3. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Формулы Муавра.
4. Действия над комплексными числами в показательной форме.
5. Предел переменной. Окрестность точки. Предел функции в точке и на бесконечности. Односторонние пределы.
6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, ограниченные функции. Их свойства.
7. Основные теоремы о пределах функций. Неопределенности.
8. Теорема о сжатой функции. Первый замечательный предел.
9. Основные понятия о числовых последовательностях.
10. Число е. Второй замечательный предел.
11. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва. Свойства непрерывных функций.
12. Свойства функций непрерывных на отрезке.
13. Определение производной функции в точке и на интервале.
14. Геометрический и механический смысл производной.
15. Дифференцируемость и непрерывность функций. Дифференциал функции.
16. Формулы и правила дифференцирования функций.
17. Дифференцирование сложной функции, неявной функции и функции, заданной параметрически.
18. Производные и дифференциалы высших порядков.
19. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия экстремума.
20. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.
21. Асимптоты графика функции.
22. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
23. Полное исследование функции и построение ее графика.
24. Понятие вектор-функции скалярного аргумента.
25. Как определяется предел и производная вектор-функции скалярного аргумента?
26. Понятие кривизны плоской линии. Формула для ее вычисления.
27. Касательная и нормальная плоскость пространственной линии в точке. Их уравнения.
Список литературы
1. Лунгу, К. Н. Сборник задач по высшей математике. 1 курс / К. Н. Лунгу [и др.]. – М.: Рольф, 2001. – 576 с.
2. Методические указания для студентов специальности 060800 «Экономика и управление на предприятии (строительство)» заочной формы обучения по дисциплине «Высшая математика» / ВИСТех (филиал) ВолгГАСУ; [сост. Е.В. Абрамов, Е.Д. Илларионова, Е.Ю. Волченко]. – Волжский: ВИСТех (филиал) ВолгГАСУ, 2010. – 95 с.
3. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. / Д. Т. Письменный. – М.: Рольф, 2001. – 288 с.
4. Рябушко, А. П. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Часть 1 / А. П. Рябушко [и др.]. – Мн.: Выш. шк., 1992
План уч.-метод. докум. 2012 г., поз. № 20
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 2288 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!