Теорема (о разложении определителя по любой строке или столбцу)

Определитель порядка равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на соответствующие алгебраические дополнения.

Например, формула разложения определителя по той строке в соответствии с основной теоремой имеет вид:

Этой теоремой широко пользуются при вычислении определителей, стараясь выбирать те строки или столбцы, которые содержат больше нулей.

Перечислим основные свойства определителей.

Свойство 1. Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы, то есть .

Это свойство непосредственно следует из основной теоремы о разложении определителя по любой строке или столбцу.

Свойство 2. Знак определителя изменяется на противоположный при перестановке двух произвольных строк (столбцов) местами.

Свойство 3. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые слагаемые, а во втором – вторые слагаемые:

.

Это свойство следует из основной теоремы о разложении определителя по любой строке или столбцу, если разложить определитель по строке (столбцу), который содержит суммы элементов.

Свойство 4. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя умножить на постоянный множитель, то исходный определитель умножится на этот множитель. Это свойство следует из основной теоремы о разложении определителя по любой строке или столбцу, если разложить определитель по строке (столбцу), который содержит постоянный множитель.

Свойства 3 и 4 могут применяться многократно и составляют, так называемые, линейные свойства определителей.

Свойство 5. Если определитель содержит хотя бы одну строку (столбец), состоящий из нулевых элементов, то он равен нулю.

Это свойство следует из основной теоремы о разложении определителя по любой строке или столбцу, если разложить определитель по строке (столбцу), который содержит только нулевые элементы.

Свойство 6. Если определитель содержит две одинаковые строки (столбца), то он равен нулю.

Действительно, если переставить в матрице с определителем две равные строки, то эта матрица не изменится и будет иметь тот же определитель . С другой стороны, по свойству 2, знак определителя изменяется на противоположный при перестановке любых двух строк матрицы. Отсюда значение определителя равно . Таким образом получается, что , что и требовалось доказать.

Свойство 7. Если к некоторой строке (столбцу) определителя прибавить линейную комбинацию некоторых других строк (столбцов), то величина определителя не изменится.

Это свойство следует из линейных свойств определителя и свойства 6.