Ортогональное дополнение подпространства

V – евклидово векторное пространство, L – его подпространство.

Определение 8.23. Говорят, что вектор а ортогонален подпространству L, если вектор а ортогонален любому вектору из подпространства L, т. е.

а ^ L Û а ^ х, " х Î L.

Определение 8.24. Ортогональным дополнением подпространства L называется множество L ^* всех векторов, ортогональных подпространству L, то есть L ^* = { x | x ^ L }.

Теорема 8.13. Ортогональное дополнение подпространства является подпространством.

Теорема 8.14. Прямая сумма подпространства L и его ортогонального дополнения L ^* равна пространству V, т. е. L Å L ^* = V.

Пример 8.13. Найти ортогональное дополнение подпространства L, натянутого на векторы а ₁ = (1, 1, 1, 1), а ₂ = (–1, 1, –1, 1), а ₃ = (2, 0, 2, 0).

Решение. Для того чтобы вектор x был ортогонален подпространству, необходимо и достаточно, чтобы он был ортогонален векторам системы образующих этого подпространства. Пусть х = (х ₁, х ₂, х ₃, х ₄), запишем условие ортогональности этого вектора векторам а ₁, а ₂, а ₃: (х, а ₁) = 0, (х, а ₂) = 0, (х, а ₃) = 0. В координатной форме эти условия представляют собою однородную систему линейных уравнений: Множество решений этой системы представляет собою подпространство L ^*, ортогональное подпространству L.

Решая систему, получим фундаментальный набор решений:
с ₁ = (–1, 0, 1, 0), с ₂ = (0, –1, 0, 1). Эти векторы образуют базис множества решений системы, то есть базис L ^*, т. о. L ^* = L (с ₁, с ₂), dim L ^* = 2.