Практическое вычисление определителей

Один из способов вычисления определителей порядка выше трех – разложение его по какому-либо столбцу или строке.

Пример 4.4. Вычислить определитель D = .

Решение. Разложим данный определитель по третьей строке:

= а ₃₁ А ₃₁ + а ₃₂ А ₃₂ + а ₃₃ А ₃₃ + а ₃₄ А ₃₄ =

= 2×(–1)^{3 + 1} М ₃₁ ++ 0×(–1)^{3 + 2} М ₃₂ + 1×(–1)^{3 + 3} М ₃₃ + (–1)×(–1)^{3 + 4} М ₃₄ =

= 2×1× + 0 + 1×1× + (–1)×(–1)× =

= 2(9 + 20 + 6 – 30 + 12 + 3) + (9 – 4 – 50 – 2 + 60 + 15) + (9 + 3 + 25 + 1 –
– 45 + 15) = 40 + 28 + 8 = 76.

При вычислении определителей целесообразно так преобразовать исходную матрицу с помощью свойств определителей, чтобы в преобразованной матрице получилась строка (столбец), содержащая максимальное число нулей («обнулить» строку), а потом найти определитель разложением по этой строке (столбцу). В ходе преобразований необходимо следить за тем, чтобы значение определителя не менялось.

Пример 4.5. Вычислить определитель четвертого порядка: D = .

Решение. В третьей строке уже есть один ноль. Если к 1-ому столбцу прибавить 3-ий, умноженный на (-4), а ко 2-му столбцу прибавить 3-ий, умноженный на 2, то получим следующий определитель, который разложим по элементам 3-ей строки (теорема Лапласа):

= а ₃₃(–1)^{3 + 3}× M ₃₃ = 1×(–1)^{3 + 3}× .

Полученный определитель можно вычислить по правилу треугольника или продолжить упрощение матрицы с последующим применением теоремы Лапласа. Прибавим к 1-ой строке 2-ую, умноженную на (–4), а к 3-ей строке 2-ую, умноженную на (–6), и получим такой определитель: = 1×(–1)^{2 + 3} = –144.