Способы задания бинарных отношений

Бинарные отношения можно задать одним из перечисленных способов.

1. Перечислением (см. пример 2.1). Такой способ задания применим только для конечных множеств.

2. Характеристическим свойством (см. пример 2.2).

3. Диаграммой. Пусть P Í A ´ В – бинарное отношение. На диаграмме множества А и В изображаются с помощью кругов (или любых других связных фигур) на плоскости, а элементы множеств – точками внутри соответствующих кругов. Каждой упорядоченной паре (a, b) из бинарного отношения Р сопоставляется отрезок прямой (или любая другая линия без самопересечений), соединяющий точки a и b и имеющий направление, указываемое стрелкой, от первого элемента упорядоченной пары ко второму.

Пример 2.3. Пусть бинарное отношение Р задано диаграммой на рис. 2.1. Определим множества А, В и отношение Р зададим перечислением.

Решение. А = { a, b, c, d, e }, B = {1, 2, 3},

P = {(b, 1), (d, 2), (d, 3), (e, 3)}.

4. Графом. Если А = В, то диаграмма станет графом. Бинарному отношению Р ставим в соответствие следующую геометрическую фигуру на плоскости: точки, являются элементами множества DomР и ImР и ориентированные ребра (линии) – каждой паре (a, b) Î Р поставим в соответствие ориентированное ребро, идущее от а к b (если а ≠ b) и петлю (если а = b) с фиксированным направлением обхода. Такую фигуру будем называть ориентированным графом отношения Р.

Каждое бинарное отношение на конечном множестве можно представить ориентированным графом. Обратно, каждый ориентированный граф представляет бинарное отношение на множестве его вершин.

Пример 2.4. Граф, изображенный на рис. 2.2, задает отношение Р = {(a, a), (a, c), (a, d), (b, e), (b, c), (d, c), (c, c)} на множестве A = { a, b, c, d, e }.

5. Графиком. Этот способ применяется, если отношение задано на числовых множествах. Графиком бинарного отношения Р называется множество точек плоскости Oxy с координатами (x, y) такие, что пара (x, y) Î Р.

Пример 2.5. График, изображенный на рис. 2.3, задает бинарное отношение Р = {(x, y) | y = x ², x, y Î R} на множестве R, т. е. Р Í R ´ R.

6. Таблицей. Например, таблица дежурств, синусов, логарифмов и др.