Ббк 22. 174я73-5

ã Т. Н. Матыцина, Е. К. Коржевина 2013

ã КГУ им. Н. А. Некрасова, 2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение...................................................................................................... 6

1. Множества.............................................................................................. 7

1. 1. Множества и их элементы. Способы задания множеств................ 7

1.2. Подмножество. Диаграммы Эйлера – Венна................................ 10

1.3. Операции над множествами и их свойства.................................... 12

1.4. Метод математической индукции................................................... 18

1.5. Комплексные числа......................................................................... 19

2. Бинарные отношения.......................................................................... 30

2.1. Понятие отношения......................................................................... 30

2.2. Свойства бинарных отношений..................................................... 34

2.3. Отношение эквивалентности........................................................... 37

2.4. Функции........................................................................................... 40

3. Матрицы и действия над ними.......................................................... 41

3.1. Общие понятия................................................................................ 41

3.2. Основные операции над матрицами и их свойства....................... 44

3.2.1. Сложение однотипных матриц............................................ 44

3.2.2. Умножение матрицы на действительное число................... 44

3.2.3. Умножение согласованных матриц..................................... 45

3.3. Транспонирование матриц............................................................. 48

4. Определители квадратных матриц................................................... 48

4.1. Определители матриц второго и третьего порядка...................... 48

4.2. Определитель матрицы n -го порядка............................................ 51

4.3. Свойства определителей................................................................. 52

4.4. Практическое вычисление определителей..................................... 53

5. Ранг матрицы. Обратная матрица.................................................... 55

5.1. Понятие ранга матрицы.................................................................. 55

5.2. Нахождение ранга матрицы методом окаймления миноров........ 56

5.3. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований 59

5.4. Понятие обратной матрицы и способы ее нахождения................. 60

6. Системы линейных уравнений.......................................................... 63

6.1. Основные понятия и определения.................................................. 63

6.2. Методы решения систем линейных уравнений.............................. 65

6.2.1. Метод Крамера.................................................................... 65

6.2.1. Метод обратной матрицы.................................................... 67

6.2.1. Метод Гаусса........................................................................ 68

6.3. Исследование системы линейных уравнений................................. 73

6.4. Однородные системы линейных уравнений.................................. 74

7. Арифметическое n -мерное векторное пространство....................... 78

7.1. Основные понятия........................................................................... 78

7.2. Линейная зависимость и независимость системы векторов........... 79

7.3. Базис и ранг системы векторов....................................................... 83

8. Векторные (линейные) пространства............................................... 86

8.1. Определение векторного пространства над произвольным полем 86

8.2. Подпространства. Линейные многообразия................................. 89

8.3. Базис и размерность векторного пространства............................. 91

8.3.1. Конечномерные векторные пространства........................... 91

8.3.2. Базисы и размерности подпространств.............................. 93

8.3.3. Координаты вектора относительно данного базиса........... 95

8.3.4. Координаты вектора в различных базисах........................ 97

8.4. Евклидовы векторные пространства.............................................. 99

9. Линейные операторы...................................................................... 106

9.1. Основные понятия и способы задания линейныхоператоров.... 106

9.2. Матрица линейного оператора.................................................... 110

9.3. Подобные матрицы....................................................................... 112

9.4. Действия над линейными операторами........................................ 113

9.5. Ядро и образ линейного оператора............................................. 115

9.6. Обратимые линейные операторы................................................ 116

9.7. Собственныевекторы линейного оператора.............................. 117

9.7.1. Свойства собственных векторов....................................... 118

9.7.2. Характеристический многочлен матрицы....................... 119

9.7.3. Нахождение собственных векторов линейного оператора 120

9.7.4. Алгоритм нахождения собственных векторов линейного оператора....................................................................................................... 121

9.7.5. Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице 123

10. Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора 126

10.1. Понятие λ-матрицы..................................................................... 126

10.2. Жорданова нормальная форма.................................................. 129

10.3. Приведение матрицы к жордановой (нормальной) форме....... 130

11. Билинейные и квадратичные формы.......................................... 133

10.1. Билинейные формы..................................................................... 133

10.2. Квадратичные формы................................................................. 135

Заключение............................................................................................. 146

Библиографический список................................................................. 147

ВВЕДЕНИЕ

Предлагаемое учебно-методическое пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготовки: 010400.62 – «Прикладная математика и информатика», 011200 – «Физика», 050100.62 – «Педагогическое образование» профиль подготовки: Математика, 050100.62 – «Педагогическое образование» профиль подготовки: Математика, Информатика и ИКТ, 080500.62 – «Бизнес-информатика», 080100.62 «Экономика» различных профилей.

В настоящем учебном пособии рассматриваются элементы следующих разделов алгебры: теория множеств, матрицы и определители, системы линейных алгебраических уравнений, комплексные числа, алгебраические системы, векторные пространства, линейные операторы.

Преподавание высшей математики студентам-бакалаврам имеет свои особенности в силу, прежде всего, других по количеству часов учебных планов. Существующие учебники по линейной алгебре очень объемны, и поэтому студент (бакалавр) не всегда может найти в них нужную информацию, вычленить главное. Данное учебно-методическое пособие поможет обучающемся в лучшем усвоении и закреплении теоретического и практического материала по линейной алгебре.

Для краткой записи утверждений будем использовать следующие обозначения символов:

" (квантор общности) читается «для любого», «для каждого», «для всех»;

$ (квантор существования) – «найдется», «существует», «хотя бы для одного»;

Þ (импликация, знак логического следования) – «если …, то …», «следует»;

Û (эквивалентность, знак логической равносильности) – «тогда и только тогда».