Отделение корней

Решение не линейного уравнения F(x)=0 состоит из двух этапов:

1. Отделение корней, т.е. отыскание достаточно малых областей в каждой из которых заключен ровно один корень уравнения или системы уравнений.

2. Вычисление каждого отдельного корня с заданной точностью.

Провести полное отделение всех корней это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки в каждом из которых содержится ровно по одному корню или не содержит ни одного корня.

Отделение корня можно произвести графически, предварительно построив графики функций и получить интервалы в которых находятся корни уравнений..

Далее эти предположения проверяют аналитически, пользуясь свойствами непрерывных функций, с сопутствующим анализом на монатомность анализ смену знаков.

Теорема 1. (О существовании корня)

Если f(х) непрерывно на отрезке АВ и принимая на концах значение разных знаков f (А) * f (В) < 0, тогда на отрезке АВ существует по крайней мере один корень уравнения f(x)=0 (корней может быть несколько).

Теорема2. (О единственности корня).

Если f(х) не прерывно на отрезке АВ и принимает на концах значение разных знаков f (А) * f (В) < 0, а производная f ‘(х) сохраняет внутри отрезка постоянный знак (+ или -), тогда внутри отрезка АВ содержится корень уравнения f (x)=0 и притом единственный.

Рассмотри 3 способа отделения корня Х.

1. Составляется таблица значений функции y = f(x) на промежутке аргумента х, т.е. вычисляется значение f(х) начиная с точки х = а, далее двигаемся вправо с некоторым шагом h до точки В и если окажется, что для соседних значений аргументов значение функции f(х) имеет разные знаки, тогда корень уравнения f(х)=0 находится между ними.

2. Строится график функции f(х) = 0 на промежутке изменения аргумента Х, тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях в точках пересечения графика с осью ОХ.

3. Уравнение f(х) = 0 заменяется равносильным y (x) = Ψ (х). Строятся графики функции у = f(х) и у = Ψ (х). Тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях проекции на ось ОХ точек пересечения этих графиков.

Пример.

(x - 2)(x + 3) = 0

[ -5; 4]; h = 0.9

1) [ -5; -4.1 ]

f (-5) * f (- 4.1) > 0 (нет корня)

2) [ -4.1; -3.2 ]

f (-4.1) * f (- 3.2) > 0 (нет корня)

3) [ - 3.2; - 2.3 ]

f (-3.2) * f (- 2.3) < 0 (есть корень)

…………………………………………………..

[1.3; 2.2 ]

f (1.3) * f (2.2) < 0 (есть корень)

……………………………………….

Метод деления пополам.

Из рассматриваемых методов является простейшим и состоит в следующем.

Допустим удалось найти отрезок АВ, на котором расположен один корень уравнения Х*. В качестве нач. приближения к корню принимаем середину этого отрезка Х ⁽⁰⁾ = (А+В)/2.

Далее исследуем значение функции f(х) на концах отрезка [ А; Х⁰ ], [ Х⁰; В].

Тот из отрезков на концах которого f(х) принимает значение разных знаков содержит искомый корень, поэтому принимает в качестве нового исследуемого отрезка. Вторую половину отрезка АВ не рассматриваем, т.к. корня там нет.

В качестве первого приближения к корню принимает середину нового отрезка и т.д.

После каждого приближения итерации отрезок на котором расположен корень уменьшается в двое, т.е. после К – й итерации он сокращается в 2^К раз.

Математически формулы метода деления пополам выглядят следующим образом:

а⁰ = а, в⁰ = в

х⁰ =

а^К+1 = { а^К, если f(а^К) * f (х^К) < 0

х^К иначе

в^К+1 = { в^К, если f(в^К) * f (х^К) ≥ 0

х^К иначе

х^К+1 =

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока │f(x^K+1) │≤ E, где Е – заданная точность. После этого с погрешностью Е полагают, что корень Х^*» Х^К+1.

Другим вариантом условия окончания К-итерации служит соотношение: (В – А)/2^К ≤ E.

A = DA -? a = 2; b = 1; Da = 0.001; Db = 0.002

DA = = = = = (ABS(SIN(B₁) – EXP(B₂)) * 3 (B₁)^2 * (B₃) + (B₄) / (B₂) + ABS ((B₁)^3 + LN (B₂)) * COS (B₁) * (B₃) – EXP (B₂) * (B₄) / (((B₁)^3 + LN (B₂))^2)))