Разложением в степенной ряд

Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.

Любой числовой ряд может или сходиться, или расходиться. Если числовой ряд сходится, то это значит, что сумма его членов равна некоторому конечному числу: .

Существуют как числовые, так и функциональные и степенные ряды. Рассмотрим в качестве примера степенной ряд: . Если рассмотреть этот ряд, то не сложно определить, что область его сходимости равна . Очевидно, что числовые ряды сходятся к числам, тогда как функциональные сходятся к некоторым функциям. В частности, суммой ряда в его области сходимости является некоторая функция :

Если функция в некотором интервале раскладывается в степенной ряд по степеням , то это разложение единственно и задается формулой Тейлора:

На практике, очень часто приходится иметь дело с частным случаем формулы Тейлора, когда значение точки, в окрестностях который раскладывается ряд, равно нулю, т.е. a = 0:

(1)

Это разложение в ряд обычно называют именем шотландца Маклорена. Разложение Маклорена также называют разложением Тейлора по степеням x.

В качестве примера, вычислим значение натурального логарифма с помощью его разложения в ряд в окрестностях нуля.

Для начала, следуюет вспомнить, что такое натуральный логарифм. Натуральный логарифм — это логарифм по основанию e, где e — иррациональная константа (число Эйлера), равная приблизительно 2,718281828. Натуральный логарифм обычно обозначают как ln(x).

Натуральный логарифм числа x — это показатель степени, в которую нужно возвести число e, чтобы получить x. Натуральный логарифм самого числа e равен 1, т.к. e¹ = e, а натуральный логарифм 1 равен 0, поскольку e⁰ = 1.

Поскольку, точка разложения в нашем случае равно нулю, воспользуемся следующей формулой разложения ряда Маклорена для натурального логарифма:

Для примера, возьмём некоторое числовое значение x в пределах диапазона , например 1,5.

Расчёты будем проводить в программе Microsoft Excel, для чего напишем программу на языке макрокоманд. Так как любая программа требует отладки, будем проводить её посредствам сравнения получающихся в процессе написания программы результатов с образцами, представленными в виде рисунков.

1. Включение компьютера и вход в систему. Результат выполнения представлен на рисунке 1.

Рис. 1.

2. Запуск программы Microsoft Excel.

Параметры: - рабочий стол. Результат выполнения представлен на рисунке 2.

Рис. 2.

3. Выбор активного листа.

Параметры: - лист: «Лист1». Результат выполнения представлен на рисунке 3.

Рис. 3.

4. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: A1; - данные: «ln». Результат выполнения частично представлен на рисунке 4. Рис. 4.

5. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: C1; - данные: «x=». Результат выполнения частично представлен на рисунке 5. Рис. 5.

6. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: A3; - данные: «n». Результат выполнения частично представлен на рисунке 6. Рис. 6.

7. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: B3; - данные: «n-1». Результат выполнения частично представлен на рисунке 7. Рис. 7.

8. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: C3; - данные: «xⁿ». Результат выполнения частично представлен на рисунке 8. Рис. 8.

9. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: D3; - данные: «xⁿ». Результат выполнения частично представлен на рисунке 9. Рис. 9.

10. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: D3; - данные: «(-1)^n-1*xⁿ». Результат выполнения частично представлен на рисунке 10. Рис. 10.

11. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: E3; - данные: «((-1)^n-1*xⁿ)/n». Результат выполнения частично представлен на рисунке 11. Рис. 11.

12. Автозаполнение - нумерация.

Параметры: - ячейка 1: « A4 »; - ячейка 2: « A5 »; - конечная ячейка: «A33»; - данные 1: «1»; - данные 2: «2»; Результат выполнения частично представлен на рисунке 12.

Рис. 12.

13. Занесение целых чисел в ячейку.

Параметры: - ячейка: «B1»; - данные: «1,5». Результат выполнения представлен на рисунке 13. Рис. 13.

14. Занесение формул в ячейку.

Параметры: - ячейка: D1; - данные: «=B1-1». Результат выполнения представлен на рисунке 14. Рис. 14.

15. Занесение формул в ячейку.

Параметры: - ячейка: B4; - данные: «=A4-1». Результат выполнения представлен на рисунке 15. Рис. 15.

16. Автозаполнение.

Параметры: - начальная ячейка: B4; - конечная ячейка: B33. Результат выполнения частично представлен на рисунке 16. Рис. 16.

17. Занесение формул в ячейку.

Параметры: - ячейка: C4; - данные: «=D$1^A4». Результат выполнения представлен на рисунке 17. Рис. 17.

18. Автозаполнение.

Параметры: - начальная ячейка: C4; - конечная ячейка: C33. Результат выполнения частично представлен на рисунке 18. Рис. 18.

19. Занесение формул в ячейку.

Параметры: - ячейка: D4; - данные: «=((-1)^B4)*C4». Результат выполнения представлен на рисунке 19. Рис. 19.

20. Автозаполнение.

Параметры: - начальная ячейка: D4; - конечная ячейка: D33. Результат выполнения частично представлен на рисунке 20. Рис. 20.

21. Занесение формул в ячейку.

Параметры: - ячейка: E4; - данные: «=D4/A4». Результат выполнения представлен на рисунке 21. Рис. 21.

22. Автозаполнение.

Параметры: - начальная ячейка: E4; - конечная ячейка: E33. Результат выполнения частично представлен на рисунке 22. Рис. 22.

23. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: G3; - данные: «Значение ln(x), полученное разложением в степенной ряд:». Результат выполнения представлен на рисунке 23.

Рис. 23.

24. Занесение заголовка в ячейку.

Параметры: - ячейка: J3; - данные: «Значение ln(x), полученное с помощью мастера функций Excel:». Результат выполнения представлен на рисунке 24.

Рис. 24.

25. Занесение формул в ячейку.

Параметры: - ячейка: H3; - данные: «=СУММ(E4:E33)». Результат выполнения представлен на рисунке 25.

Рис. 25.

В результате вычислений значения натурального логорифма ln(1,5) при вычислении с помощью разложения в рям Маклорена оказалось равным 0,405465108. Для проверки результата воспользуемся формулой для вычисления натурального логарифма из набора «Мастер-функций» Excel.

26. Занесение формул в ячейку.

Параметры: - ячейка: J3; - данные: «=LN(1,5)». Результат выполнения представлен на рисунке 26.

Рис. 26.

Проверка показала, что формула для вычисления натурального логарифма из набора «Мастер-функций» Excel, даёт точно такой же результат: 0,405465108, что и полученный нами в результате вычислений с помощью разложения в степенной ряд, что может служить доказательством того, что разложение проведено верно.