Элементарные функции. Их свойства и графики

Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций: многочлен, рациональная, степенная, показательная и логарифмическая, тригонометрические и обратные тригонометрические.

Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения. Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.

Элементарные функции разделяются на алгебраические и трансцендентные.

Элементарные функции по Лиувиллю

Рассматривая функции комплексного переменного, Лиувилль определил элементарные функции несколько шире. Элементарная функция y переменной x — аналитическая функция, которая может быть представлена как алгебраическая функция от x и функций , причём z ₁ является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции g ₁ от x, z ₂ является логарифмом или экспонентой от некоторой алгебраической функции g ₂ от x и z ₁(x) и так далее.

Например, y = sin(x) — элементарная функция в этом смысле, поскольку она является алгебраической функцией e^ix. Функция тоже является элементарной, поскольку её можно представить в виде: y = z ₂, где .

Не ограничивая общности рассмотрения, можно считать функции алгебраически независимы, то есть если алгебраическое уравнение выполняется для всех x, то все коэффициенты полинома равны нулю.

Дифференцирование элементарных функций

Элементарные функции бесконечно дифференцируемы всюду, где они определены. При этом производная элементарной функции всегда является элементарной функцией и может быть найдена за конечное число действий. Именно, по правилу дифференцирования сложной функции

где z ₁'(z) равно или g ₁' / g ₁ или z ₁ g ₁' в зависимости от того, логарифм ли z ₁ или экспонента и т. д. На практике удобно использовать таблицу производных.