Требования к математическим моделям

К математическим моделям предъявляются требования универсальности, адекватности и экономичности.

Степень универсальности математической модели характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта. Поскольку модель отражает лишь некоторые свойства объекта, то важным является установление оптимальной степени универсальности, отвечающей основным задачам исследования. Так, например, при использовании математических моделей в функциональном проектировании, они предназначены для отображения протекающих в объекте функциональных процессов (например, денежных потоков в действующем предприятии). При этом не требуется, чтобы модель описывала другие свойства объекта (например, размеры окон в производственных зданиях предприятия), что, впрочем, может потребоваться при решении каких-либо других задач управления (например, оптимизации условий труда работников).

Адекватность математической модели — это ее способность отображать заданные свойства объекта с погрешностью, не выше заданной. При этом часто говорят о точности модели, которая оценивается степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью рассматриваемой математической модели.

Оценка адекватности пары «оригинал-модель» может быть осуществлена с использованием понятий изоморфизма и гомоморфизма.

Изоморфизм. В строго математическом смысле изоморфизм двух систем: означает, что между входами и выходами обеих систем существует взаимно однозначное соответствие. Понятие изоморфизма систем распространяется и на структурные, и на поведенческие характеристики систем. Системы S₁ и S₂, между которыми существует отношение изоморфизма, называются изоморфными. Так, например, изоморфны местность и географическая карта, объект съемки и фотография, снимок и негатив и т.д.

Понятие изоморфизма в моделировании относительно, поскольку исходно модель является лишь некоторым приближением оригинала. В целом же, если между двумя объектами может быть установлено сходство в каком-либо одном определенном смысле, то между этими объектами существуют отношения оригинала и модели.

Наличие изоморфизма между системой-оригиналом и системой-моделью характеризует весьма высокую степень адекватности, обеспечение которой при построении модели сопряжено с большими трудностями и, вообще говоря, не является необходимым. При построении моделей исследователь, руководствуясь конкретными целями, выделяет лишь наиболее существенные факторы, присущие реальной системе, которые в модели должны быть отражены с максимальной полнотой и точностью, требуемой в данном исследовании. Остальные, несущественные факторы могут отражаться в модели либо с меньшей точностью, либо могут быть исключены. Это является преимуществом модели, поскольку позволяет проводить исследование на более простом, по сравнению с реальным, объекте. Отсутствие полного совпадения всех характеристик модели и оригинала, особенно в области экономико-математического моделирования, не позволяет утверждать наличие изоморфизма между реальной системой и ее моделью.

Важным частным случаем соотношения «оригинал-модель» является отношение гомоморфизма, при котором между системами S₁ и S₂, существует однозначное прямое и неоднозначно-обратное соответствие. Так, модель, полученная из реальной системы путем ее упрощения (например, за счет уменьшения числа переменных путем их объединения) является гомоморфной моделью.

Экономичность математической модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов (затратами машинного времени и памяти) на ее реализацию. Чем меньше эти затраты ресурсов, тем модель экономичнее. Следует, впрочем, отметить, что это свойство моделей в связи с бурным развитием информационных технологий в последнее время все в большей степени утрачивает свое значение, оставаясь важным разве что для моделей супермасштабных проектов.