Понятие многочлена

Многочленом называется с коэффициентами из некоторого поля P.Здесь - степень одночлена. Наибольшая из степеней одночленов называется степенью многочлена.

Суммой двух многочленов называется многочлен, коэффициенты которого есть сумма соответствующих коэффициентов многочленов.

Произведение многочленов сводится к попарному произведению всех слагаемых и приведению подобных.

Говорят, что многочлен f делит многочлен g (f|g), если существует многочлен h, такой что g=fh

Свойства делимости:

1)Если f|g и g|h, то f|h

2)Если f|g и f|h, то f|(g +h)

3)Если f|g,то для любого h: f|gh

4)Пусть и и . Тогда если f|g, то , такое что

5) Если f|g и g|f,

Доказательство:

1) , то есть f|h

2) , то есть f|(g +h)

3)

4) , откуда очевидно, что и

5) и

Теорема о делении с остатком.

Определение. Пусть и — многочлены, . Будем говорить, что поделен на с остатком, если представлен в виде , где и — многочлены, причем .

Полином называется остатком от деления на , — неполным частным.

Теорема. (о делении с остатком). Пусть и — полиномы над полем , . Тогда существуют единственные многочлены и над полем такие, что и .

Доказательство. Существование.

Пусть . Положим .

.

Предположим, что теорема верна не для любого полинома ( фиксируем). Среди всех многочленов , для которых теорема неверна, выберем многочлен наименьшей степени и обозначим его :

Пусть . Положим

Коэффициент при в многочлене равен . Следовательно, . Значит, для многочлена теорема верна. Существуют такие и , что . Тогда

Получили противоречие с тем предположением, что есть многочлены, для которых теорема неверна.

Единственность. Предположим, что

1) . Значит, ,

2) .

Получили противоречие. Этот случай невозможен.