Подвійний інтеграл

Знайдемо границю подвійної інтегральної суми при , . Якщо вона існує, позначимо її:

(1.4)

Повернемось до інтегральної суми . Позначимо найбільшу з елементарних площ , .

Якщо інтегральна сума при має границю,

(1.5)

яка не залежить ні від способу розбиття області D на частини , ні від вибору точок , , в цих частинах, то ця границя називається подвійним інтегралом по області і позначається

(1.6)

Якщо існує границя інтегральної суми функції , то функція називається інтегровною в області D; D – область інтегрування; х, у – змінні інтегрування; (або ) – елемент площі.

Теорема 1.1. (достатні умови інтегровності функції).

Якщо функція неперервна в замкненій квадровній області D, то вона інтегровна в цій області. Таким чином, існує границя інтегральної суми, формула (1.5), яка не залежить ні від способу розбиття області D на частини , ні від вибору проміжних точок в цих частинах.

Обидві границі, формули (1.4) і (1.5), відповідають точному значенню шуканої величини F. Отже справедлива рівність: