Математическая модель флуктуаций

Любые макроскопические системы, даже находящиеся в состояния равновесия, не являются каким-то “застывшим” образованием. Напротив, это состояние динамического равновесия. В них всегда происходят сложные движения и взаимодействия образующих системы микрочастиц (электронов, атомов, молекул, ионов). Эти движения и взаимодействия определяют как средние свойства макроскопических систем, так и их флуктуации.

Физические величины, характеризующие тело или систему, находящихся в равновесии с окружающей средой, практически всегда с очень большой точностью равны своим средним значениям. Однако, отклонения от этих средних значений во времени, хотя и малые, все же происходят (величины, как говорят, флуктуируют), и возникает вопрос о нахождении закона распределения вероятностей этих отклонений. Этот вопрос обусловлен не простым любопытством исследователей. Современные приборостроение и промышленная технология, не говоря уже о научных исследованиях, достигли столь высокого уровня, когда знания средних значений параметров уже не достаточно, а необходимы понимание природы и учет флуктуаций этих параметров.

Статистическая задача о распределении вероятностей состояний системы формулируется следующим образом: необходимо найти вероятность dp того, что значение физического параметра, описывающего систему, находится в интервале от х до х+dх. Эту вероятность называют элементарной вероятностью. Эта вероятность пропорциональна ширине dх интервала и зависит от значения х. Поэтому элементарную вероятность записывают в виде . Функцию w(x) называют плотностью вероятности. Это название следует по аналогии из известной формулы для расчета массы элементарного объема вещества .

Зная w(x), можно легко найти среднее значение< x > параметра х и его дисперсию: ; .

Дисперсия D (x) – характеризует интенсивность флуктуаций. Величина s_х называется средним квадратическим отклонением параметра х от его среднего значения. Таким образом, задача о флуктуациях системы сводится к нахождению функции w(x). По существу, функция представляет собой математическую модель флуктуаций системы.

В статистической теории при вычислении w(x) для тепловых флуктуаций, рассматривают макроскопическую систему (подсистему), являющуюся частью большой замкнутой системы, находящейся в равновесном состоянии при абсолютной температуре Т. Тогда плотность вероятности w(х) нахождения подсистемы в состоянии, отличном от равновесного, пропорциональна множителю , где A (х) – работа, необходимая для того, чтобы вывести подсистему из положения равновесия и привести ее в то состояние, в котором она оказалась в результате флуктуации, т.е.

, (1)

где В – постоянная величина. Необходимо иметь в виду, что A (х) обозначает элементарную (бесконечно малую) работу, поскольку тепловые флуктуации предполагаются малыми.

Отметим также, что вероятность флуктуации аддитивных (экстенсивных) физических величин (например: масса, заряд) пропорциональны объему (размерам) системы. Вероятность флуктуации интенсивных физических величин (например: температура, давление) обратно пропорциональны объему (размерам) системы.