Краткие теоретические сведения. 2 страница

Тема 4. Системы векторов. N-мерное векторное пространство. Евклидово пространство.

Арифметическим вектором называют упорядоченную совокупность из чисел: и обозначают . Числа называют компонентами вектора , число компонент называют его размерностью.

Векторы и называют равными, если они одинаковой размерности и их соответствующие компоненты равны: , .

Суммой векторов и одной размерности, называют вектор той же размерности, для которого: , .

Произведением вектора на число называют вектор той же размерности, для которого: , .

Линейной комбинациейвекторов и одной размерности, называют вектор той же размерности ( и - произвольные числа), для которого: , .

Множество всех -мерных векторов, в котором введены операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие определённым требованиям (аксиомам) называют векторнымпространством и обозначают .

Систему векторов называют линейно зависимой, если найдутся числа , одновременно, такие, что (где - нулевой вектор), в противном случае, систему называют линейно независимой.

Базисом системы векторов называют упорядоченную систему векторов , удовлетворяющую условиям:

1) , ; 2) система линейно независима; 3) для любого вектора найдутся числа такие, что . Коэффициенты , однозначно определяемые вектором , называют координатами вектора в базисе , а формулу называют разложениемвектора по базису и пишут: .

В пространстве базисом является каждая упорядоченная система из линейно независимых векторов: . Формулу называют разложениемвектора по базису , коэффициенты - координатами вектора в базисе и пишут .

Всякая упорядоченная система из векторов образует базис , если определитель, столбцами которого являются компоненты векторов , не равен нулю.

Пространство , в котором введено скалярное произведение векторов, удовлетворяющее определённым требованиям (аксиомам), называют евклидовым. Скалярным произведением двух векторов и называют число: .

Тема 5. Линейные операторы. Собственные числа и векторы.

Оператором называется закон (правило), по которому каждому вектору ставится в соответствие единственный вектор , и пишут или В дальнейшем, рассматривается случай (преобразование пространства ). Оператор называется линейным, если для любых векторов и действительных чисел выполнено условие: .

Если - базис пространства , то матрицей линейного оператора в базисе называется квадратная матрица порядка , столбцами которой являются столбцы координат векторов . Между линейными операторами, действующими в и квадратными матрицами порядка , существует взаимно однозначное соответствие, что позволяет оператор представить в матричном виде , где - матрицы-столбцы координат векторов , - матрица оператора в базисе .

Для линейных операторов, действующих в вводятся следующие операции: 1) сложение операторов: ; 2 ) умножение операторов на число: ; 3) умножение операторов: .

Обратным к оператору называется оператор такой, что , где - единичный (тождественный) оператор, реализующий отображение . Обратный оператор существует только для невырожденных операторов (операторов, матрица которых является невырожденной). Все, рассмотренные выше, действия над линейными операторами выполняют, выполняя аналогичные действия над их матрицами.

Пусть число и вектор , , таковы, что выполняются равенства: или . Тогда число называется собственным числом линейного оператора (или матрицы ), а вектор - собственным вектором этого оператора (или матрицы), соответствующим собственному числу . Равенство может быть записано в виде , где - единичная матрица порядка , - матрица-столбец координат собственного вектора , соответствующего собственному числу , - нулевая матрица-столбец.

Характеристическим уравнением оператора (или матрицы ) называется уравнение: .

Множество собственных чисел оператора (или матрицы) совпадает с множеством корней его характеристического уравнения: , а множество собственных векторов, отвечающих собственному числу , совпадает с множеством ненулевых решений матричного уравнения: .

Тема 6. Квадратичные формы.

Квадратичной формой (или кратко ) от -переменных называется однородный многочлен второй степени с действительными коэффициентами: , где . Квадратичную форму всегда можно записать в матричном виде: , где - матрица квадратичной формы (являющаяся симметрической, так как выполняется условие ), - матрица-столбец, - матрица-строка, составленные из переменных .

Квадратичная форма называется невырожденной, если её матрица является невырожденной.

Квадратичная форма называется канонической, если она имеет вид:

.

Всякую квадратичную форму всегда можно привести к каноническому виду, например, методами Лагранжа и ортогональных преобразований.

Квадратичные формы подразделяют на различные типы в зависимости от множества их значений. Квадратичная форма называется:

положительно (отрицательно) определённой, если для любого выполняется неравенство (); неотрицательно (неположительно) определённой, если для любого выполняется неравенство (), причём существует , для которого ; знакопеременной (или неопределённой), если существуют такие и , что и .

Невырожденная квадратичная форма может быть либо положительно определённой, либо отрицательно определённой, либо знакопеременной. Тип невырожденной квадратичной формы можно определить, проверяя знаки главных миноров матрицы квадратичной формы.

Пусть , где - матрица квадратичной формы. Главными минорами матрицы называются миноры порядка

(), составленные из первых строк и первых столбцов матрицы: , , , .

Критерием знакоопределённости невырожденной квадратичной формы является критерий Сильвестра:

- квадратичная форма положительно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры её матрицы положительны, т.е. , , , ;

- квадратичная форма отрицательно определена тогда и только тогда, когда для всех главных миноров её матрицы выполняются неравенства: , , , , (все миноры нечётного порядка отрицательны, а чётного – положительны);

- квадратичная форма знакопеременна тогда и только тогда, когда для главных миноров её матрицы выполняется хотя бы одно из условий: один из главных миноров равен нулю, один из главных миноров чётного порядка отрицателен, два главных минора нечётного порядка имеют разные знаки.

Тема 7. Векторная алгебра.

Вектором (геометрическим) называется направленный отрезок, задаваемый упорядоченной парой точек (началом и концом вектора). Обозначают вектор или . Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается или . Углом между векторами и называется угол , , на который следует повернуть один из векторов, чтобы его направление совпало с направлением другого вектора, при условии, что их начала совпадают. Проекцией вектора на вектор называется число .

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы называются компланарными, если они расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Векторы и называются равными и пишут , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют равные длины. Векторы и называются противоположными и пишут , если они коллинеарны, направлены в разные стороны и имеют равные длины.

Суммой векторов и называется вектор , соединяющий начало вектора и конец вектора , при условии, что конец вектора совпадает с началом вектора (правило треугольника). Произведением вектора на действительное число называется вектор :

1) коллинеарный вектору ; 2) имеющий длину ; 3) направленный одинаково с вектором , если , и противоположно, если .

Ортом вектора , называется вектор , имеющий единичную длину и направление вектора : .

Базисом в пространстве называется упорядоченная тройка некомпланарных векторов, базисом на плоскости – упорядоченная пара неколлинеарных векторов, базисом на прямой – любой ненулевой вектор на этой прямой. Базис, в котором все векторы попарно перпендикулярны и имеют единичную длину, называется ортонормированным. Векторы ортонормированного базиса обозначаются: и , и называются базисными ортами. Различают правый и левый ортонормированные базисы. Базис -называется правым, если кратчайший поворот от к совершается против хода часовой стрелки, в противном случае он – левый. Базис -называется правым, если из конца вектора кратчайший поворот от вектора к виден совершающимся против хода часовой стрелки, в противном случае он – левый.

Условием коллинеарности векторов и является равенство: , где - некоторое число. Условием компланарности векторов , и является равенство: , где - некоторые числа.