Введение в предмет 2 страница

§14-2. Уравнение напряжения трансформатора.

Рабочий процесс трансформатора можно исследовать на основе уравнений напряжения его обмоток. Емкостными связями до f < 1 ¸ 5 кГц пренебрегаем. В трансформаторах без ферромагнитных сердечников L₁₁, L₂₂ и М постоянны.

Рис. 14-2. схема однофазного двухобмоточного трансформатора.

Пренебрегая магнитными потерями в магнитопроводе для однофазного двухобмоточного трансформатора действительны следующие дифференциальные уравнения напряжений на основании второго закона Кирхгофа: пусть L₁₁, L₂₂ и М = const, тогда:

(14-13)

где u₁, u₂, i₁, i₂ – мгновенные значения напряжения и тока, положительные направления которых указаны на рис. 14-2. Причем первичная обмотка – приемник, а вторичная – источник электрической энергии.

При синусоидальных напряжении и токе вместо дифференциальных выражений удобнее пользоваться комплексными уравнениями для действующих значений токов и напряжений. Для этого в (14-3) следует подставить

и после дифференцирования сократить на

(14-14)

где х₁₁ = wL₁₁; х₂₂ = wL₂₂; х₁₂ = wМ (14-15), представляют собой полные собственные и взаимные индуктивные сопротивления обмоток.

При синусоидальной нагрузке трехфазных трансформаторов электромагнитные процессы протекают во всех фазах одинаково и электромагнитные величины в каждой фазе сдвинуты по фазе на 120°. При этом комплексы ₁, ₂, ₁и ₂ представляют собой фазные значения напряжений и токов.

Уравнения (14-13) и (14-14) полностью определяют процессы, происходящие в трансформаторе, и позволяют решать задачи, связанные с работой трансформатора.

Например, если, определив из первого уравнения (14-14) комплекс I₁, и

подставить его значение во второе уравнение(14-14), то получим зависимость вторичного напряжения ₂ от тока нагрузки ₂:

(14-16)

Первый член правой части выражения (14-16) определяет величину ₂ = ₂₀ при холостом ходе, т.е. при ₂ = 0:

, (14-17)

При коротком замыкании вторичной обмотки, когда ₁=0, а ₂ = _2k

, (14-18)

Если пренебречь r₁ и r₂ (которые <<< x₁₁, x₂₂), множитель в квадратных скобках будет:

, (14-19)

т.е. значение коэффициента рассеяния согласно равенству (14-12).

Тогда:

Отсюда видно, что падение напряжения и ток короткого замыкания определяются небольшой долей коэффициента рассеяния s полного индуктивного сопротивления х₂₂ , обусловленной электромагнитным рассеянием. Это же можно сказать и о ряде других величин, характеризующих эксплуатационные свойства трансформаторов и вращающихся электрических машин. Кроме того, ввиду неравенства чисел витков w₁ ¹ w₂ параметры r₁, r₂, L₁₁, L₂₂, M, x₁₁, x₂₂ и x₁₂ u₁, u₂,а также напряжения u₁, u₂, U₁, U₂ и токи i₁, i₂, I₁, I₂ могут сильно различаться по значению.

Поэтому определение величин, характеризующих электромагнитное рассеяние, составляет важную задачу теории электрических машин.

В связи с изложенным теория электрических машин развита в следующих тесно связанных друг с другом направлениях:

1. Индуктивно связанные обмотки приводятся к одинаковому числу витков, в результате чего порядки напряжений токов и параметров этих обмоток становятся соответственно одинаковыми.

2. Из полных собственных индуктивностей L₁₁, L₂₂ и индуктивных сопротивлений x₁₁ и x₂₂ выделяются составляющие – индуктивности рассеяния S₁ и S₂ и индуктивные сопротивления рассеяния x₁ и x₂. При этом остающиеся части L₁₁-S₁, L₂₂-S₂, x₁₁- x₁ и x₂₂-x₂

соответствуют индуктивно связанным цепям с полной связью (с = 1).

3. Независимо от расчета полных индуктивностей и индуктивных сопротивлений, разрабатываются непосредственные методы расчета малых параметров (рассеяния), чем достигается необходимая точность в определении этих малых параметров рассеяния.

4. От электрических цепей с индуктивной связью делается переход к схемам замещения с электрической связью.

5. Индуктивности и индуктивные сопротивления рассеяния вводятся в явном виде в расчетные соотношения и схемы замещения, что позволяет с необходимой точностью рассчитывать величины, зависящие от электромагнитного рассеяния.

§14-3. Схемы замещения двухобмоточного трансформатора.

Приведение вторичной обмотки к первичной.

Так как в общем случае w₂ ¹w₁,то Е₂ ¹ Е₁ и I₂ ¹ I₁,то различны и параметры обмоток, т.е. их активные и индуктивные сопротивления, что затрудняет количественный учет процессов, происходящих в трансформаторах, и построение векторных диаграмм.

Чтобы избежать этих трудностей, обе обмотки трансформатора приводятся к одному числу витков. Обычно приводят вторичную обмотку к первичной, имеющую такое же количество витков, с условием, чтобы эта операция приведения не отразилась на энергетическом процессе. При этом число витков вторичной обмотки изменяется в «k» раз

В результате такого приведения

₂ = k× ₂; ₂ = k× ₂. (14-21)

Чтобы мощность приведенной и реальной обмоток при всех режимах работы были равны, необходимо соблюдать равенство ₂× ₂ = ₂× ₂, где наведенный вторичный ток

₂ = ₂/k. (14-22)

Намагничивающие силы приведенной и реальной обмоток

₂×w¢₂ = ₂×w₂ (14-23)

Суммарное сечение всех витков приведенной обмотки должно быть таким же, как и у реальной обмотки, а сечение каждого витка, должно уменьшаться в k-раз. Но поскольку приведенная обмотка имеет в k-раз больше витков, то

r¢₂ = k²r₂ (14-24)

x¢₂ = k²x₂ (14-25)

Очевидно, что потери в приведенной и реальной обмотках одинаковы:

Одинаковы также относительные падения напряжения во вторичных обмотках приведенного и реального трансформаторов:

Схема замещения без учета магнитных потерь.

Сделаем в уравнениях (14-14) подстановки:

(14-26)

Умножив при этом второе уравнение (14-14) на k, получим

(14-27)

При переходе к электрической связи двух цепей в соответствующей схеме замещения должна появится общая для обеих цепей ветвь, которая обтекается суммой токов обеих цепей İ₁ +İ¢₂. Соответственно этому, в уравнениях напряжений этих цепей должны появиться одинаковые члены с множителями (I₁ +İ¢₂). Из уравнений (14-27) видно, что для получения в них таких членов нужно прибавить к первому уравнению и вычесть из него член jkx₁₂I¢₂. При этом:

(14-28)

Введем следующие наименования и обозначения

- приведенное активное сопротивление вторичной обмотки

r¢₂=k² r ₂ (14-29)

- приведенное взаимное индуктивное сопротивление

x¢₁₂ = kx₁₂; (14-30)

- индуктивное сопротивление рассеяния первичной обмотки

x₁ = x₁₁ - k×x₁₂; (14-31)

- приведенное индуктивное сопротивление рассеяния вторичной обмотки,

(14-32)

где

(14-33)

представляет собой непреведенное индуктивное сопротивление вторичной обмотки.

В результате подстановок в (14-28) получим следующие уравнения напряжений приведенного трансформатора:

(14-34)

Этим уравнениям соответствует схема замещения рис. 14-3, а. Аналогичным образом можно также преобразовать уравнения напряжения в дифференциальной форме (14-13), произведя в них подстановки

u₂ = u¢₂/k; i₂=ki¢₂ (14-35).

При этом получается схема замещения рис. 14-3, б, где:

(14-36)

(14-37)

S₁ и S¢₂ представляют собой индуктивности рассеяния первичной и вторичной обмоток, а

(14-38)

приведенную взаимную индуктивность.

Рис. 14-3. Схемы замещения двухобмоточного трансформатора без учета магнитных потерь (Т-образные):

а) – в комплексной форме

б) – в дифференциальной форме.

По уравнениям (14-34) и схеме замещения рис. 14-3 получается идеальный трансформатор, у которого приведенные собственные взаимные индуктивные сопротивления одинаковы и равны

и поэтому с² = 1 и s = 0

Параметры схемы замещения по рис. 14-3.

При :

Приведенная взаимная индуктивность:

или на основании

(14-4)

(14-39)

Последний член (14-39) весьма мал по сравнению с первым, поэтому с достаточной точностью

(14-40)

Соответственно, согласно выражениям x₁₁ = wL₁₁; x₂₂ = wL₂₂; x₁₂ = wM; x¢₁₂ = kx₁₂; и

M¢₁₂ = L_c1, , , или

(14-41)

Следовательно, сопротивление x¢₁₂ с большой точностью равно сопротивлению самоиндукции первичной обмотки от потока, замыкающегося по магнитопроводу.

Ветви 1-2 схем замещения называются намагничивающими ветвями; их ток:

, создает результирующую намагничивающую силу обмоток трансформатора: , которая в свою очередь создает результирующий поток стержня с амплитудой Ф_с.

Напряжение на этих ветвях: , т. е. равно по значению и обратно по знаку э.д.с. Е₁, которая индуктируется в первичной обмотке результирующим потоком магнитопровода и отстает от него на 90°.

Индуктивности рассеяния обмоток (без математических выкладок):

(14-42)

(14-43)

Таким образом, индуктивности рассеяния S₁, S₂ и S¢₂ и индуктивные сопротивления рассеяния

x₁=wS₁; x₂=wS₂; x¢₂=wS¢₂, (14-44)

при

, определяются магнитным потоком, замыкающимся главным образом по воздуху.

Однако вторыми членами равенств (14-42) и (14-43) по сравнению с первыми, пренебречь нельзя, и поэтому потоки, замыкающиеся по воздуху можно назвать потоками рассеяния лишь условно.

Схема замещения с учетом магнитных потерь.

Потери в стали магнитопровода Р_мг при заданной частоте пропорциональны величинам:

Р_мг ~ В²_с ~ Ф²_с ~ Е²₁ ~ U²₁₂,

т.е. пропорциональны квадрату напряжения U₁₂ на зажимах 1-2 намагничивающей цепи схемы замещения рис. 14-3, а. Если к этим зажимам параллельно х₁₂ = х_с1 подключить активное сопротивление r_мг, то потери в этом сопротивлении будут также пропорциональны U²₁₂. Значение сопротивления r_мг можно подобрать так, чтобы потери в нем равнялись магнитным потерям:

(14-45) Отсюда:

Рис. 14-4. Намагничивающая цепь с учетом магнитных потерь.

где m₁ – коэффициент подбора.

Намагничивающий ток _M = ₁+ ₂, разделяется в двух ветвях намагничивающей цепи на активную _МА и реактивную _МГ составляющие, из которых первая определяет мощность магнитных потерь, а вторая создает поток магнитопровода. Однако, расчеты вести удобнее, если объединить две параллельные ветви в одну общую ветвь. Тогда:

. (14-46)

Так как r_мг>> x¢_12, то ;

, (14-47)

При увеличении насыщения магнитопровода, т.е при увеличении Ф_с, Е₁ или U₁, приведенное индуктивное сопротивление x¢₁₂ при f = const уменьшается. Однако, при этом r_мг » const, а значение r_M уменьшается.

Схема замещения с учетом магнитных потерь согласно рис. 14-4, б показана на рис. 14-5, а. Если использовать обозначения:

(14-48),

то схему замещения можно использовать проще (рис.14-5, б).

Рис. 14-5. Схема замещения двухобмоточного трансформатора с учетом магнитных потерь.

В режиме холостого хода и - току холостого хода.

В итоге получилась весьма простая Т-образная схема замещения трансформатора, представляющая собой пассивный четырехполюсник. Сопротивление намагничивающей цепи этой схемы z_м отражает явления в ферромагнитном магнитопроводе. Оно значительно больше сопротивления Z₁ и Z¢₂, которые включают в себя активные сопротивления и индуктивные сопротивления рассеяния обмоток. Для силовых трансформаторов в относительных единицах Z_м* = 25 ¸ 200; z_1*» z¢_2* = 0.025 ¸ 0.10.

Уравнения напряжений и схему замещения трансформатора можно представить также в относительных единицах, имея в виду что U_н = z_н × I_н.

Упрощенная схема замещения.

Поскольку z_м >> z₁» z¢₂, то можно положить во многих случаях z_м = ¥, что означает разрыв намагничивающей цепи схемы замещения, т.е. I_м = 0, что аналогично пренебрежению намагничивающим током или током холостого хода, что в ввиду малости во многих случаях допустимо. При этом

При z_м = ¥ и I_м = 0 схема замещения принимает вид, изображенный на рис. 14-6. Параметры этой схемы:

(14-49)

Рис. 14-6. Упрощенная схема замещения трансформатора

называются соответственно: полным, активным и индуктивным сопротивлениями короткого замыкания. Обычно в силовых трансформаторах z _k* = 0,05 ¸ 0,15.

Замыкание вторичных зажимов трансформатора накоротко, соответствует замыканию накоротко вторичных (правых) зажимов схемы замещения и при этом сопротивление трансформатора будет равным z_к.

§14-4. Определение параметров схемы замещения трансформатора.

Могут быть определены расчетным и опытным путем.

Расчетное определение:

Активные сопротивления обмоток легко рассчитываются по обмоточным данным, если известны коэффициенты вытеснения тока, учитывающие увеличение активных сопротивлений под влиянием поверхностного эффекта. Обычно эти коэффициенты находятся в пределах 1,005 ¸ 1,15.

Параметры намагничивающей цепи легко определяются по данным расчета магнитной цепи по закону полного тока

или на основании вычисления энергии магнитного поля магнитопровода или его намагничивающей (реактивной) мощности (см. §13-2).

(14-45).

Чтобы найти х¢₁₂ для заданного значения э.д.с.

(12-3)

надо определить поток Ф_с, затем намагничивающую силу F по формулам (13-1) и (13-2)

, (13-1)

где: n_ф – число стыков магнитопровода, d - величина зазора для шихтованных магнитопроводов d = 0,003 ¸ 0,005мм. Действующее значение основной гармоники намагничивающего тока

, (13-3)

где w - число витков обмотки, k – коэффициент, учитывающий наличие высших гармоник в магнитопроводе: при В_ст = 1Т k = 1,5 и В_ст = 1,4Т k = 2,2. Магнитная характеристика показана на рис. 13-1. Тогда:

.

Метод противовключения.

Наибольшую трудность, вследствие сложного характера магнитных полей в воздухе, представляет определение индуктивных сопротивлений рассеяния х₁ и х¢₂, имеющих важное значение, влияние которых на эксплуатационные показатели и характеристики трансформатора гораздо больше, чем влияние параметров намагничивающей цепи. Для вычисления х₁ и х¢₂ используется метод противовключения (метод Роговского в 1909 г.), который состоит в том, что: если питать трансформатор с первичной и вторичной сторон такими напряжениями, что ,то поток Ф_с = 0 и Е₁ = Е₂ = 0.

Намагничивающие силы первичной и вторичной обмоток при этом равны по значению и противоположны по знаку F₁ = - F₂, откуда и происходит название метода.

Если измерить U₁, U₂, I₁, I₂ и мощности P₁ и P₂, то можно определить параметры

, где m – число фаз.

и, наконец, сопротивления рассеяния

В связи с изложенным можно сказать, что в режиме противовключения существуют только магнитные поля рассеяния.

Идея метода противовключения лежит в основе всех расчетных методов определения индуктивных сопротивлений рассеяния.

При w ₁ ¹ w ₂ осуществление опыта Роговского практически невозможно, так как в магнитопроводе даже при небольшом нарушении условия:

возникает заметный поток Ф_с, сравнимый с потоком в воздухе Ф_в. Поэтому опыт проводят на макетах с w₁ = w₂ или при замене вторичной обмотки приведенной.

В силу значительных трудностей обычно рассчитывается сумма индуктивных сопротивлений рассеяния, исходя из картины магнитного поля в режиме противовключения, когда и все магнитные линии направлены вертикально вверх и их длина l _d > l

- коэффициент Роговского, где l_d - высота стержня магнитопро- вода; l – высота катушки.

§14-5. Опытное определение параметров схемы замещения трансформатора.

Определяются по данным опыта холостого хода и короткого замыкания.

Рис. 14-10. Схема опыта холостого хода однофазного трансформатора.

Измеряемые величины очевидны из рис.14-10. Из данных опыта холостого хода (О.Х.Х) определяются:

- полное, активное и индуктивное сопротивления х.х.

; (14-60)

- коэффициент трансформации

(14-61)

- коэффициент мощности х.х.

(14-62)

; (14-70)

в действительности z₁I_o можно пренебречь и положить .

Рис. 14-11. Векторная диаграмма трансформатора при холостом ходе.

Для трехфазного трансформатора при соединении первичной обмотки в звезду

(14-63)

а при соединении ее в треугольник:

(14-64)

Коэффициент мощности холостого хода:

(14-65)