Лекция 27. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля

В основе теории Максвелла лежат четыре уравнения:

1. Электрическое поле может быть потенциальным (Е) или вихревым (Е_в).

Напряженность суммарного электрического поля:

; (25.1)

т.к.

; (25.2)

, (25.3)

то в общем случае можно записать:

. (25.4)

Данное уравнение показывает, что источником электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющееся во времени магнитное поле.

Иначе: циркуляция вектора напряженности суммарного электрического поля по любому замкнутому контуру L равна скорости изменения магнитного потока через поверхность S, которая охватывается контуром L.

2. Обобщенная теорема о циркуляции вектора (закон полного тока)

. (25.5)

Циркуляция вектора по любому замкнутому контуру L равна алгебраической сумме токов проводимости и смещения, которые охватываются контуром L.

Иначе: магнитное поле может возбуждаться не только движущимися электрическими зарядами, но и переменными электрическими полями.

3. Теорема Гаусса для электростатического поля:

, (25.6)

где - вектор электрического смещения;

- количество зарядов.

Поток вектора через любую замкнутую поверхность S равна алгебраической сумме, заключенных внутри поверхности S, свободных зарядов.

1. - от свойств среды не зависит, т.е. не зависит от связанных зарядов диэлектрика.

2. при переходе через границу двух диэлектриков не претерпевает разрыва, т.е. линии электрического смещения – непрерывны, т.о. непосредственно описывает электростатическое поле, созданное свободными зарядами (в вакууме).

Уравнение (выше) для случая: если заряд распределен непрерывно внутри поверхности S с объемной плотностью ρ (заряд на единицу объема):

. (25.7)

4. Теорема Гаусса для индукции магнитного поля:

. (25.8)

Поток вектора индукции через любую замкнутую поверхность S равен нулю. В природе магнитные заряды отсутствуют.

Вышеуказанные уравнения представляют собой полную систему уравнений Максвелла в интегральной форме.

Величины, входящие в систему уравнений Максвелла не являются независимыми, между ними существуют следующие математические зависимости:

, (25.9)

где - электрическая постоянная;

- относительная диэлектрическая проницаемость среды.

, (25.10)

где - магнитная постоянная;

- относительная магнитная проницаемость среды; она показывает во сколько магнитная проводимость в данной среде больше чем в вакууме.

(25.11)

- закон Ома в дифференциальной форме;

где j – плотность тока,

γ – удельная проводимость.

Замечания к уравнениям Максвелла:

Уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей, что связано с тем фактом, что в природе существуют только электрические заряды.

Для стационарных электрических и магнитных полей, т.е. таких полей, для которых: , , т.е. не являются функцией от времени.

; (25.12)

; (25.13)

; (25.14)

. (25.15)

В системе уравнений электрического и магнитного поля существуют независимо друг от друга, что позволяет изучать отдельно постоянные электрические и магнитные поля.

Вывод: уравнения Максвелла играют в учении об электромагнетизме такую же роль, как и уравнения Ньютона в механике. Из уравнений Максвелла следует, что переменное электрическое поле связано с порождаемым им магнитным полем, а переменное магнитное поле связано с переменным электрическим полем. Таким образом, переменные электрические и магнитные поля неразрывно связаны и образуют единое электромагнитное поле. Процесс распределения электромагнитного поля в пространстве называют электромагнитной волной. Скорость распределения свободных электромагнитных волн (т.е. не связанных ни с токами, ни с зарядами) в вакууме равна:

; (25.16)

то есть эта скорость равна скорости распределения света. Все теоретические исследования свойств электромагнитных волн, проведенные Максвеллом, привели его к созданию электромагнитной теории света. Согласно этой теории, свет представляет собой также электромагнитные волны. Экспериментальные доказательства того факта, что законы, полученные Максвеллом, описывают создание и распределение электромагнитных волн, были получены Герцем (1847-1894гг.). Совместно с принципом теории относительности Эйнштейна, теория Максвелла привела к созданию единой теории электрических, магнитных и оптических явлений.