Волк на псарне

Получатель выполняет проверку подписи с использованием следующих формул. Он создает величину v, которая является функцией от компонент общего открытого ключа, открытого ключа отправителя и хэш-кода полученного сообщения. Если эта величина равна компоненте r в подписи, то подпись считается действительной.

w = s^-1 mod qu₁ = [ H (M) w ] mod qu₂ = r w mod qv = [ (g^u1 y^u2) mod p ] mod qподпись корректна, если v = r

Докажем, что v = r в случае корректной подписи.

Лемма 1. Для любого целого t, если

g = h^(p-1)/q mod pто g^t mod p = g^{t mod q} mod p

По теореме Ферма, так как h является взаимнопростым с p, то h^p-1 mod p = 1. Следовательно, для любого неотрицательного целого n

gnq mod p	= (h(p-1)/q mod p)nq mod p
	= h((p-1)/q) nq mod p
	= h(p-1)n mod p
	= ((h(p-1) mod p)n) mod p
	= 1n mod p = 1

Таким образом, для неотрицательных целых n и z мы имеем

gnq+z mod p	= (gnq gz) mod p
	= ((gnq mod p) (gz mod p)) mod p
	= gz mod p

Любое неотрицательное целое t может быть представлено единственным образом как t = nq + z, где n и z являются неотрицательными целыми и 0 < z < q. Таким образом z = t mod q.

Лемма 2. Для неотрицательных чисел a и b: g^{(a mod q + b mod q)} mod p = g^{(a+b) mod q} mod p.

По лемме 1 мы имеем

g^{(a mod q + b mod q)} mod p= g^{(a mod q + b mod q) mod q} mod p = g^{(a + b) mod q} mod p

Лемма 3. y^{(rw) mod q} mod p = g^{(xrw) mod q} mod p

По определению y = g^x mod p. Тогда:

y^{(rw) mod q} mod p = (g^x mod p)^{(rw) mod q} mod p по правилам = g^{x ((rw) mod q)} mod p модульной арифметики = g^{(x ((rw mod q))) mod q} mod p по лемме 1 = g^{(xrw) mod q} mod p

Лемма 4. ((H(M) + xr) w) mod q = k

По определению s = (k^-1 (H(M) + xr)) mod q. Кроме того, так как q является простым, любое неотрицательное целое меньшее q имеет мультипликативную инверсию. Т.е. (k k^-1) mod q = 1. Тогда:

(ks) mod q = (k((k^-1(H(M) + xr)) mod q)) mod q = (k (k^-1(H(M) + xr))) mod q = ((k^k-1) mod q) ((H(M) + xr) mod q) mod q = (H(M) + xr) mod q

По определению w = s^-1 mod q, следовательно, (ws) mod q = 1. Следовательно:

((H(M) + xr) w) mod q = (((H(M) + xr) mod q) (w mod q)) mod q = (((ks) mod q) (w mod q)) mod q = (kws) mod q = (k mod q) ((ws) mod q)) mod q = k mod q

Так как 0 < k < q, то k mod q = k.

Теорема. Используя определения для v и r, докажем, что v=r.

v = ((g^u1 y^u2) mod p) mod q = ((g^{(H(M) w) mod q} y^{(rw) mod q)} mod p) mod q = ((g^{(H(M) w) mod q} g^{(xrw) mod q)} mod p) mod q = ((g^{(H(M) w) mod q + (xrw) mod q)} mod p) mod q = ((g^{(H(M) w + xrw) mod q)} mod p) mod q = ((g^{w (H(M) + xr) mod q)} mod p) mod q = (g^{k mod p)} mod q = r

Волк на псарне

Волк ночью, думая залезть в овчарню, Попал на псарню. Поднялся вдруг весь псарный двор -? Почуя серого так близко забияку, Псы залились в хлевах и рвутся вон на драку;?? Псари кричат: "Ахти, ребята, вор!"? И вмиг ворота на запор; В минуту псарня стала адом.? Бегут: иной с дубьем, Иной с ружьем. "Огня! - кричат, - огня!" Пришли с огнем.? Мой Волк сидит, прижавшись в угол задом,? Зубами щелкая и ощетиня шерсть, Глазами, кажется, хотел бы всех он сесть; Но, видя то, что тут не перед стадом, И что приходит наконец Ему рассчесться за овец, - Пустился мой хитрец В переговоры И начал так: "Друзья! К чему весь этот шум??? Я, ваш старинный сват и кум, Пришел мириться к вам, совсем не ради ссоры; Забудем прошлое, уставим общий лад!? А я не только впредь не трону здешних стад,? Но сам за них с другими грызться рад И волчьей клятвой утверждаю, Что я..." - "Послушай-ка, сосед, - Тут ловчий перервал в ответ, - Ты сер, а я, приятель, сед, И волчью вашу я давно натуру знаю; А потому обычай мой: С волками иначе не делать мировой, Как снявши шкуру с них долой".? И тут же выпустил на Волка гончих стаю.

Примечания:

Впервые напечатана в «Сыне отечества», 1812 г., ч. I, № 2, стр. 79—80 (ценз, разр, от 7 октября 1812 г.). Автографы: ПБ 11, ПБ 5. Написана в первых числах октября в связи с получением в Петербурге известий о попытке Наполеона вступить в мирные переговоры через Лористона, имевшего 23 сентября 1812 г. свидание с Кутузовым. Лористон передал Кутузову мирные предложения Наполеона, приведенные в донесении Кутузова Александру I. В них указывалось, что Наполеон «желает положить предел несогласиям между двумя великими народами и положить его навсегда» (см. М. Богданович, «История Отечественной войны», т. II, стр. 392). Кутузов решительно отклонил предложения Наполеона и 6 октября нанес поражение французским войскам при Тарутине.

По свидетельству современника «Крылов, собственною рукою переписав басню, отдал ее жене Кутузова, которая отправила ее в своем письме. Кутузов прочитал басню после сраженья под Красным собравшимся вокруг него офицерам и при словах: «а я приятель сед», снял свою белую фуражку и потряс наклоненною головою» (Михайловский-Данилевский. Полн. собран, соч., т. V. стр. 243). Об успехе, который имели патриотические басни Крылова в армии, свидетельствует письмо К. Батюшкова Н. Гнедичу от 30 октября 1813 г.: «Скажи Крылову,— писал Батюшков,— что... в армии его басни все читают наизусть. Я часто слышал их на биваках с новым удовольствием». (К. Батюшков. Сочинения, СПБ., 1887, стр. 480).

Помещаем здесь полностью первоначальную редакцию басни по автографу ПБ11:

Волк ночью, думая залезть в овчарню, Попал на псарню. Туда <был доступ> не мудрен, Да только <как-то выйдет> вон? Поднялся лай и вой, и псарный двор стал адом. Бегут псари: иной с дубьем, Иной с ружьем. «Огня, огня!» — кричат. Пришли с огнем. Сидит мой Волк, прижавшись к углу задом. И видит, наконец, Пришло ему расчесться за овец. Однакож, думает хитрец, Дай попытаюся вступить в переговоры. И зачал так: «Друзья, напрасно этот шум: Я ваш старинный сват и кум, Пришел мириться к вам; совсем не ради ссоры. [Уставим меж собою снова лад И я не только впредь не трону здешних стад, Но сам за них со всеми драться рад! Довольны ль вы?» — «Прекрасно!» Тут ловчий отвечал: «Послушай-ка, мой свет, Ты сер, я сед! Так обмануть тебе меня не след — И верь, трудишься ты напрасно».]

К стихам в особом извещении «Сына отечества» даны поправки, совпадающие с окончательным текстом последующих изданий («Сын отечества», 1812, ч. I, стр. 1/6).