Корректность

Корректность

Определим вначале понятие устойчивости решения.

Решение задачи y^* называется устойчивым по исходным данным x^*, если оно зависит от исходных данных непрерывным образом. Это означает, что малому изменению исходных данных соответствует малое изменение решения. Строго говоря, для любого > 0 существует = () > 0 такое, что всякому исходному данному x^*, удовлетворяющему условию | x - x^* | <, соответствует приближенное решение y^*, для которого | y - y^* | <.

Говорят, что задача поставлена корректно, если выполнены следующие три условия:

1. Решение существует при любых допустимых исходных данных.

2. Это решение единственно.

3. Это решение устойчиво по отношению к малым изменениям исходных данных.

Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, задача называется некорректной.

Пример 1.1.

Покажем, что задача вычисления определенного интеграла I = корректна. Пусть f ^*(x) - приближенно заданная функция и I ^* =. Очевидно, приближенное решение I ^* существует и единственно. Определим абсолютную погрешность f ^* с помощью равенства (f^*) = | f (x) - f^* (x) |. Так как

(I) = | I - I^* | = || (b - a)(f^*),

то для любого > 0 неравенство (I) < будет выполнено, если будет выполнено условие (f^*) <, где = / (b - a).

Таким образом, решение I ^* устойчиво. Все три условия корректности задачи выполнены.

Пример 1.2.

Покажем, что задача вычисления производной u (x) = f (x) приближенно заданной функции некорректна.

Пусть f ^*(x) - приближенно заданная на отрезке [ a, b ] непрерывно дифференцируемая функция и u^* (x) = (f* (x)). Определим абсолютные погрешности следующим образом: (f^*) = | f (x) - f^* (x) |, (u^*) = | u (x) - u^* (x) |.

Возьмем, например, f^* (x) = f (x) + sin (x/ ²), где 0 < < 1. Тогда, u^* (x) = u (x) + ^{- 1} cos (x/ ²), (u^*) = ^{- 1}, т. е. погрешность задания функции равна, а погрешность производной равна ^{- 1}. Таким образом, сколь угодно малой погрешности задания функции f может отвечать сколь угодно большая погрешность производной f.