Примеры линий в пространстве

1. Линия является прямой в том, и только том случае,

если .

2. Если и только в этом случае, все точки

линии принадлежат одной плоскости (плоская

кривая).

3. У окружности и только окружности кручение

равно нулю, а

-31-

т.е. исследуемая кривая и окружность расходятся на малую величину не менее третьего порядка и, следовательно, касание окружностью кривой имеет порядок не менее двух. В этом заключается причина, по которой величина интерпретируется как радиус кривизны кривой.

Рассмотрим теперь проекцию кривой на спрямляющую плоскость . Из формул (5.14a, c) следует, что эта проекция имеет вид кубической параболы (см. рис.3)

.

Рис. 3

-30-

в каждой точке пространства взаимно

однозначно определяют друг друга:

а) направление вектора является касательным к

- ой координатной линии;

б) модули векторов базиса и углы между ними

определяются формулой

в) координатная линия системы координат

является огибающей соответствующего вектора

координатного базиса.

3. Координатный базис и дополняющий его

базис взаимно однозначно определяют

друг друга

4. Любой вектор может быть представлен своими

ковариантными или контравариантными

компонентами

И наоборот, компоненты вектора определяются

в координатных базисах формулами

4. Для любых векторов и имеют место

равенства

-19-

6. Если две системы координат и

связаны между собой взаимно однозначным

преобразованием

то имеют место равенства

матрице преобразования координат

нижний индекс нумерует строки, а верхний

столбцы.

7. Координатные базисы различных систем

координат связаны между собой соотношениями

-20-

В точке ось касается кривой. При смещении вдоль кривой на величину кривая и ось расходятся на расстояние . Поэтому

т.е. кривая и ось расходятся на малую величину второго порядка. Именно это и дает основание говорить о касании 1-го порядка осью исследуемой кривой в точке .

Проведем теперь окружность радиуса с центром в точке на оси , так что . При смещении вдоль кривой окружность и кривая расходятся на расстояние . Вычислим это расстояние. Имеем

Поэтому

,

-29-

Проектируя вектор на направления и , получаем

(5.14a,b,c)

Величина радиуса кривизны исследуемой кривой в точке является естественным масштабом для измерения и сравнения значений и других длин в ее окрестности . Из (5.14a), например, находим, что в линейном приближении

Формулы (5.14 a,b) означают, что в квадратичном приближении проекция кривой на соприкасающуюся плоскость является параболой

-28-

8. Компоненты любого вектора в координатных

базисах при преобразовании системы координат

преобразуются согласно формулам