Численное интегрирование методом Симпсона с заданной точностью

Принцип метода Симпсона состоит в замене под­ын­те­граль­ной функ­ции f(х) интерполяционным мно­гочленом Нью­­то­на вто­рой сте­пени. Тогда для каждого эле­мен­тар­­но­го от­резка [хi,хi+1] име­ем следующее значение площади подынтегральной кривой:

^.

Для всего отрезка интегрирования [a,b] формулой Симпсона:

Данное выражение называется формулой Сим­сона. Оно от­носится к формулам по­вы­шен­ной точ­нос­ти и яв­ля­ется точ­ной для мно­го­чле­нов второй и третьей сте­пе­ни.

Рисунок 31 – Геометрическая интерпретация численного интегрирования методом Симпсона

Приведём программу, реализующую вычисление определённого интеграла методом Симпсона с заданнойточностью. В качестве подынтегральной будем использовать функцию:

^.

Рассмотренные формулы численного интегрирования требуют чёткого указания количества разбиений отрезка интегрирования. Однако классическое использование численного метода предполагает вычисление значения (корня, интеграла и т.д.) с заданной точностью.

Точность любой формулы численного интегрирования зависит от величины отрезка разбиения D.

Будем вычислять значение интеграла при разных значениях D (D₁, D_2, D_3,…), где D_i+1 = 2D_i. Как только разница между значением интеграла, вычисленного при D_i и интеграла, вычисленного при D_i+1, станет меньше, чем значение e, будем считать, что интеграл вычислен с заданной точностью e.

Данный метод интегрирования с заданной точностью прост в реализации, однако он требует значительных избыточных вычислений, что приводит к повышению затрат времени на вычисление.