Unsigned F, n;

…..

if (F = Factorial (n))

….. // Используем вычисленное значение факториала F

Else

cout << “Ошибка. Факториал числа ” << n << “ не может быть вычислен! \n”;

Важно. При рекуррентном накоплении сумм, произведений (степеней, факториалов) целых типов следует очень внимательно контролировать возможность выхода за границы диапазона значений используемого целого типа данных. При возникновении таких ситуаций поведение программы будет непредсказуемым.

Еще один пример. Требуется подсчитать сумму первых n элементов следующего степенного ряда:

Если подойти к решению этой задачи “в лоб”, то получится следующая весьма неэффективная программа:

int n = 20; // Количество суммируемых элементов ряда

double x = 2.5; // Значение аргумента x

double S = 0; // Начальное значение суммы ряда

int i = 0; // Начальное значение индекса элемента ряда

while (i < n)

{

S = S + pow(x, i) / Factorial (i);

++ i;

}

cout << “Сумма первых ” << i << “ элементов ряда равна ” << S << endl;

Неэффективность этого варианта реализации объясняется двумя причинами. Во-первых, поскольку функция вычисления факториала представляет собой цикл, общее количество операций будет быстро расти с увеличением n. Во-вторых, нам вообще не удастся подсчитать сумму более чем 13 элементов этого ряда, так как при i = 13, функция вычисления факториала возвратит значение 0, и наша программа аварийно завершится с ошибкой “Деление на 0 ”. Избежать аварийного завершения программы можно, как это было описано выше – путем проверки значения факториала на 0 и прерывания цикла, однако более 13 элементов ряда все равно просуммировать не удастся.

Решить эту проблему поможет еще одно рекуррентное соотношение, связывающее очередное значение элемента ряда с его предыдущим значением.

Несложно заметить, что откуда следует, что при .

Тогда можно предложить следующий вариант реализации:

int n = 20; // Количество суммируемых элементов ряда

double x = 2.5; // Значение аргумента x

double a = 1; // Значение первого элемента ряда

double S = 1; // Начальное значение суммы ряда при i = 0

int i = 1; // Начальное значение индекса элемента ряда

while (i < n)

{

a = a * x / i;

S = S + a;

++ i;

}

cout << “Сумма первых ” << i << “ элементов ряда равна ” << S << endl;

В этой реализации недостатки предыдущего варианта программы отсутствуют. Удалось избавиться и от вычисления факториала, и от возведения в степень аргумента x. Теперь количество операций на каждой итерации постоянно и равно 4. Программа позволяет находить сумму практически любого количества элементов ряда.

Более сложный вариант рекуррентного соотношения. Требуется написать функцию для получения значения многочлена Чебышева первого рода степени n >= 0, задающегося следующим рекуррентным соотношением:

Реализация: