Критерий Гурвица. Гурвиц предложил другой критерий устойчивости

Гурвиц предложил другой критерий устойчивости. Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица по алгоритму:

1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от a ₁ до a_n;

2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули.

Критерий Гурвица: для того, чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.

Рассмотрим примеры применения критерия Гурвица:

1) n = 1 => уравнение динамики: a₀p + a₁ = 0. Определитель Гурвица: = ₁ = a₁ > 0 при a₀ > 0, то есть условиие устойчивости: a₀ > 0, a₁ > 0;

2) n = 2 => уравнение динамики: a₀p² + a₁p + a₂ = 0. Определители Гурвица: ₁ = a₁ > 0, D₂ = a₁a₂ - a₀a₃ = a₁a₂ > 0, так как a₃ = 0, то есть условие устойчивости: a₀ > 0, a₁ > 0, a₂ > 0;

3) n = 3 => уравнение динамики: a₀p³ + a₁p² + a₂p + a₃ = 0. Определители Гурвица: ₁ = a₁ > 0, ₂ = a₁a₂ - a₀a₃ > 0, 3 = a_{3 2} > 0, условие устойчивости: a₀ > 0, a₁ > 0, a₂ > 0, a₃ > 0, a₁a₂ - a₀a₃ > 0;

Таким образом, при n 2 положительность коэффициентов характеристического уравнения является необходимым и достаточным условием устойчивости САУ. При n > 2 появляются дополнительные условия.

Критерий Гурвица применяют при n 4. При больших порядках возрастает число определителей и процесс становится трудоемким. Имеется ряд модификаций данного критерия, расширяющие его возможности.

Недостаток критерия Гурвица - малая наглядность. Достоинство - удобен для реализации на ЭВМ.