Раздел I Электрические цепи

В обобщенном понятии электрическим током называют движение заряженных частиц и явление, возникающее при изменении электрического поля во времени, сопровождаемое магнитным полем. В соответствии с этим различают три основных вида электрического тока: ток проводимости, ток переноса и ток смещения.

Электрический ток проводимости представляет собой упорядоченное движение заряженных частиц в проводящих средах под действием электрического поля. В металлических проводниках свободно перемещаются электроны, а в проводящих растворах подвижными заряженными частицами являются ионы. Ток проводимости, в частности электронный ток, имеет наибольшее значение для электротехники, что объясняется большой проводимостью металлических проводников. Ионный ток используется в основном при электролизе.

Током переноса (конвекции) называется перенос электрических зарядов в свободном пространстве движущимися заряженными частицами или телами. Ток переноса создается в газе или пустоте также под действием электрического поля. Ток переноса используется, в частности, в ионных и электронных приборах, в электрической дуге для целей сварки и освещения.

Электрический ток смещения представляет собой движение связанных заряженных частиц в диэлектрике при изменении поляризации диэлектрика, а также явление, возникающее при изменении во времени электрического поля в пустоте. Ток смещения, как в диэлектрике, так и в пустоте возникает только при изменении электрического поля.

Интенсивность электрического тока оценивается силой электрического тока и характеризует скорость изменения заряда:

I= i = ,

где I, i —силы токов—неизменяющаяся во времени и изменяющаяся;

— количество электричества, проходящее через некоторую площадь среды;

—время прохождения данного количества электричества.

Единица силы тока — ампер — определяется по электродинамическому взаимодействию проводников с токами.

Положительным направлением электрического тока условились считать направление движения положительно заряженных частиц под действием электрического поля.

Законы электромагнитных явлений

В электротехнике к наиболее важным электромагнитным явлениям относятся электромагнитная индукция, и взаимодействие электрического тока с магнитным полем.

Закон электромагнитной индукции

Явление электромагнитной индукции заключается в наведении электродвижущей силы в проводнике при изменении магнитного потока, сцепляющегося с проводником. Это явление лежит в основе преобразования механической энергии в электрическую. В частности, на этом принципе работают основные источники электрической энергии — электрические генераторы.

Основной закон электромагнитной индукции формулируется так: электродвижущая сила, индуцируемая в контуре, равна скорости изменения потокосцепления с этим контуром, т.е.:

е =

Если потокосцепление Ψ= wФ, то э.д.с. контура будет равна:

е =

В этих уравнениях знак минус вводится для согласования направления э.д.с. индукции с направлением магнитного потока в соответствии с принципом Ленца.

Самоиндукция

Э.д.с. индукции в замкнутом контуре (в катушке) вызывается изменением магнитного потока, пронизывающего контур. Этот магнитный поток может создаваться внешним магнитом или электромагнитом.

Э.д.с. индукции возникает в катушке также при изменении ее собственного магнитного потока. Такое изменение магнитного потока может вызываться:

1) включением катушки в сеть — магнитный поток увеличивается от нуля до некоторого значения Ф;

2) выключением катушки — магнитный поток уменьшается от Ф до нуля;

З) при всяком изменении сопротивления в цепи катушки или при изменении подводимого напряжения;

4) при включении катушки в цепь переменного тока — магнитный поток непрерывно изменяется.

Если катушка включается в цепь постоянного тока, то в течение известного времени ток должен возрасти от 0 до I (величина тока определяется формулой I=UR, где U — напряжение на зажимах катушки, а R — ее сопротивление). При этом также увеличивается магнитный поток катушки Ф и в ней создается э.д.с. индукции е_L, направленная по закону Ленца отрицательно, т.е. в данном случае — противоположно подводимому напряжению. Эта э.д.с. препятствует возрастанию тока.

При размыкании цепи уменьшается ток I, а также и магнитный поток. Э.д.с. индукции е_L, создаваемая уменьшающимся магнитным потоком, направлена так же, как и напряжение U, и препятствует уменьшению тока. Э.д.с., возникающая вследствие изменения собственного магнитного потока цепи, называется э.д.с. самоиндукции е_L, а само явление — самоиндукцией.

Определим величину э.д.с. самоиндукции. Пусть число витков данной катушки w, ее длина l и сечение, перпендикулярное к оси, s; в катушке находится стальной сердечник. Переменный ток в катушке обозначим i.

Индукция магнитного поля катушки в любой момент определяется формулой: B=μ_аH = , магнитный поток: Ф=BS = .

При изменении этого магнитного потока создается э.д.с. самоиндукции е_L, величина которой в данный момент в одном витке равна: е_L = - .Э.д.с. самоиндукции во всех витках, соединенных последовательно, будет

е_L = - . Так как под знаком производной находится только одна переменная величина i, все постоянные множители можно вынести за знак производной: е_L = -(. Постоянная величина, стоящая перед производной , называется индуктивностью и обозначается L: L = .

Размерность величины L = [ .

Взаимоиндукция

Пусть две катушки 1 и 2 (рис.1) расположены так, что часть магнитных линий первой пересекают часть витков второй. Если первая катушка включена в цепь постоянного тока, то при всяком изменении тока в ней изменяется магнитный поток, часть которого проходит через витки второй катушки. Следовательно, во второй катушке должна возникать э.д.с. индукции. Эта э.д.с. называется э.д.с. взаимной индукции, а само явление называется взаимоиндукцией.

Рис.1. Возникновение э.д.с. взаимоиндукции

При включении первой катушки в цепь переменного тока во второй будет существовать непрерывно э.д.с. взаимоиндукции.

Величина э.д.с. взаимной индукции зависит от количества магнитных линий первой катушки, сцепляющихся с витками второй.

Для увеличения потокосцепления следует катушки располагать возможно ближе друг к другу или лучше одну внутри другой. Такие цепи называются индуктивно связанными. Индуктивная связь увеличивается, если катушки имеют общий стальной сердечник.

На рис.1 указаны данные для обеих катушек; если они расположены одна внутри другой, то длина сердечника l и сечение его одинаковы для обеих. В цепи первой катушки (ее называют первичной) проходит переменный ток i.

Магнитный поток первичной катушки определяется формулой:

Ф ₁ = .

Если принять, что все магнитные линии первичной катушки сцепляются со всеми витками вторичной, то э.д.с. индукции во всех витках вторичной катушки равна

e ₂= - w ₂ или e ₂= - w ₂ , т.е. e ₂= -

где — взаимная индуктивность, Гн.

Таким образом, э.д.с. вторичной обмотки е выражается формулой: e₂= -М Если первичная цепь включена в сеть переменного тока, а вторичная замкнута на сопротивление, то во вторичной цепи проходит ток i ₂ и, кроме э.д.с. взаимоиндукции, возникает также э.д.с. самоиндукции: e_2L= -L₂ , где L₂= . В первичной цепи возникает э.д.с. самоиндукции e_1L= -L₁ , где L₁= .

Сопоставляя формулы для L₁, L₂ и М, приходим к заключению, что эти три величины связаны определенным соотношением:

L₁= L₂= ; М= ; .

Отношение называется коэффициентом связи и обозначается буквой k.

Закон электромагнитных сил

Опыты показывают, что проводники с электрическими токами, помещенные в магнитное поле, испытывают действие механических сил. Механические силы возникают также между магнитным полем и ферромагнитными телами, помещенными в магнитное поле. Наконец проводники, движущиеся в магнитном поле под действием каких-либо внешних сил, также испытывают действие механических сил. Возникают эти силы в результате взаимодействия электрических токов и магнитных полей, поэтому они называются электромагнитными силами. Эти силы имеют и другое название — электродинамические силы.

Основным законом, выражающим взаимодействие электрических токов с магнитным полем и взаимодействие электрических токов между собой, является закон электромагнитных сил Ампера.

В общем случае, когда проводник конечной длины l, по которому течет ток силой I, находится в магнитное поле с индукцией В, сила взаимодействия F между полем и током определяется следующей формулой:

= I .

Если прямой провод длиной l, по которому т ток силой I, находится в равномерном магнитном поле и образует угол α с направлением поля (рис.2), то электромагнитная сила будет равна:

F= B I l sin α.

В частном случае, когда прямой провод с током расположен перпендикулярно направлению магнитного поля (α = , сила взаимодействия выразится соотношением:

F= B I l.

Сила взаимодействия между параллельными проводниками, по которым проходят токи силой I ₁ и I₂ при условии, что расстояние между ними d мало по сравнению с их длиной l, определится следующей формулой:

F=μ .

Явление взаимодействия магнитного поля с током лежит в основе преобразования электрической энергии в механическую.

Рис.2. Сила, действующая на проводник с током.

Принцип Ленца

Электрические контуры обладают электромагнитной инерцией. Сущность этого явления состоит в том, что эти контуры отзываются на вносимые возмущения стремлением сохранить неизменными свои потокосцепления.

Положение об электромагнитной инерции Ленц сформулировал следующим образом: при всяком изменении магнитных потоков, сцепляющихся с контурами, в контурах наводятся электродвижущие силы такого направления, что токи, вызванные этими э.д.с., стремятся воспрепятствовать изменению потокосцепления.

Действительно, если магнитный поток, связанный с контуром, возрастает, то электрический ток, вызванный э.д.с. контура, стремится воспрепятствовать увеличению магнитного потока. При убывании магнитного потока электрический ток, вызванный э.д.с. контура, стремится воспрепятствовать убыванию магнитного потока.

Электрическая энергия и мощность

Пусть э.д.с. Е, действующая в цепи с сопротивлением R, создает ток I; за время t в цепи переместилось количество электричества Q = I t кулонов. Э.д.с. есть работа по перенесению единичного заряда вдоль всей цепи. Величина этой работы А равна величине электрической энергии, израсходованной источником, т.е.:

А= W = E I t.

Для участка цепи при напряжении на его концах U:

A =U I t.

Выражение для работы электрического тока можно преобразовать в следующие:

A= E I t = I² R t,т.к. E =I R;

A=E² g t, т.к. I = и A = .

Также видоизменяется формула работы на участке цепи:

A= U I t; A = I²R t; A = U²g t. Мощность электрического тока определяется уравнением P = , отсюда полная мощность P=E I; P=I² (R+R₀);

P = E²g. Мощность в части цепи: P= U I; P= I² R; P = U² g.

Тепловое действие электрического тока. Закон Ленца – Джоуля

Установлено, что электрический ток в цепи создается за счет энергии, затрачиваемой источником электрической энергии. За счет этой энергии и происходит перемещение зарядов в проводящей среде, т.е. преодолевается ее электрическое сопротивление. Однако в процессе этого перемещения происходит множество столкновений электронов с атомами вещества, в результате чего выделяется тепло и проводник нагревается.

Таким образом, прохождение электрического тока всегда сопровождается выделением тепловой энергии в проводниках, по которым проходит ток.

Выделенная током на участке цепи за время энергия преобразуется в тепловую энергию:

W = I²R t.

Единицей энергии является джоуль (Дж) – эта работа, совершаемая силой тока в 1 А при напряжении в 1 В в течение 1с. Кратные единицы электроэнергии 1 кВт·ч = 3600 Дж.

В этом виде формула представляет собой выражение закона Ленца—Джоуля: количество теплоты, выделенной током в проводнике, пропорционально сопротивлению проводника, квадрату силы тока и времени.

Как и работа электрического тока, закон Ленца—Джоуля может быть выражен тремя формулами:

W = I² R t; W = U I t; W= U² g t [Втч]

Контрольные вопросы

	Как изменится количество теплоты, выделяющейся в нагревательном приборе, при ухудшении контакта в разъемном соединении	Не изменится
Увеличится
Уменьшится
	Для нагревания воды в баке используют водонагреватель, ток которого равен 5 А при напряжении 220 В. Определить к.п.д. водонагревателя, если для нагревания воды затрачивается 250 кДж и нагревание продолжается 5 мин.	50 %
75 %
90 %
	Какая из формул используется для определения количества тепла, выделяющейся в воздухонагревателе	Q=U∙I2∙t
Q=U2∙I∙t
Q= I2∙R∙t
	Изменятся ли потери энергии внутри источника при изменении сопротивления внешнего участка цепи при условии, что э.д.с. Е=const	Изменятся
Не изменятся
	Указать уравнение изменения сопротивления проводника Rпр в зависимости от температуры	Rпр = R0[1+α(t-t0)]
Rпр = 1/R0∙α(t-t0)
Rпр = R0[1+α∙t]
	Каким признаком характеризуются в металлических проводниках генерация тепла	Отсутствием свободных электронов и ионов
Наличием свободных ионов
Наличием свободных ионов и электронов
Наличием свободных электронов
	Существуют ли химически чистые металлы, у которых температурный коэффициент сопротивления α =0	Существуют
Не существуют
	Какое явление приводит к увеличению сопротивления металлического проводника	Увеличение амплитуды колебаний ионов в узлах кристаллической решетки
Уменьшение расстояния между ионами кристаллической решетки
Изменение напряженности электрического поля
	Зависит ли сопротивление катушки, изготовленной из медного провода, от приложенного к ней напряжения	Не зависит
Сильно зависит
Почти не зависит
	От каких параметров электрической цепи зависит явление поверхностного эффекта	Величина приложенного напряжения
Частота электрической цепи
Сечение токонесущего проводника

Электрические цепи и их элементы

Совокупность устройств, предназначенных для прохождения в них электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий об электродвижущей силе, силе тока и напряжении, называют электрической цепью.

Основными элементами электрических цепей являются, источники и приемники электрической энергии, а также провода, связывающие источники и приемники. Нередко основными элементами цепей являются и устройства, в которых не происходит изменения электрической энергии, а преобразуются только ее параметры.

Источниками электрической энергии являются электрические генераторы, гальванические элементы, аккумуляторы, термоэлементы и другие устройства. В источниках происходит процесс преобразования механической, химической, тепловой или другого вида энергии в электрическую. В настоящее время разрабатываются и исследуются новые источники для прямого преобразования тепловой, химической и ядерной энергии в электрическую, в частности, такие, как магнитогидродинамические генераторы и топливные элементы.

Приемниками электрической энергии, или так называемой нагрузкой, являются электрические лампы, электронагревательные приборы, электродвигатели, сварочные агрегаты и другие устройства, В них электрическая энергия преобразуется в другие виды энергии, в частности в световую, тепловую, механическую. Приемники электрической энергии получили и третье название—потребителей.

Элементами, преобразующими параметры электрической энергии, являются такие устройства, как, например, трансформаторы, изменяющие напряжение и силу тока, преобразователи частоты, выпрямители, преобразующие переменный ток в постоянный, полупроводниковые инверторы, преобразующие постоянный ток в переменный.

В теории электрических цепей под элементами обычно понимаются не физические устройства, а их идеализированные модели, которые, обладая определенными электромагнитными свойствами, с достаточной полнотой отображают процессы, происходящие в реальных электротехнических устройствах. Каждый идеализированный элемент обладает лишь каким-либо одним свойством: или свойством вносить энергию в электрическую цепь, или только ее рассеивать, или только ее запасать в магнитном или электрическом поле. Соответственно этому различают активные и пассивные элементы электрических цепей. Активными элементами электрических цепей являются источники электрической энергии, а пассивные — элементы, обладающие сопротивлением, индуктивностью и емкостью.

Сопротивление

Сопротивлением называют свойство элемента рассеивать энергию, т.е. преобразовывать (необратимый процесс) электрическую энергию в другие виды энергии, в частности, в тепловую и механическую. Величина сопротивления определяется отношением напряжения на зажимах элемента к силе тока, проходящего по нему: R= . Величину, обратную сопротивлению, g = называют проводимостью. Элемент сопротивления является моделью резисторов, т.е. реостатов, проводов и составных частей многих других электрических устройств, изготовленных из проводников. Сопротивление этих устройств зависит от геометрических размеров проводников, свойств их материала и определяется по формуле R= , где l - длина проводника S - площадь поперечного сечения проводника; ρ - коэффициент, характеризующий свойство материала проводника и называемый его удельным сопротивлением.

Величину, обратную удельному сопротивлению, γ = называют удельной проводимостью.

Единицей сопротивления является Ом, единицей удельного сопротивления—Ом∙м, единицей проводимости — См (сименс), единицей удельной проводимости — 1/(Ом м). Так как провода относительно длинны, а сечение их относительно мало, то в справочниках удельное сопротивление дается в Ом.мм²/м, а удельная проводимость — в м/(Ом мм²).

Удельное сопротивление и соответственно сопротивление зависят от температуры. Опыты показывают, что сопротивление проводников с увеличением температуры от t₀ до t изменяется по уравнению

R_t=R₀[1+α(t-t₀)],

где α - температурный коэффициент материала проводника;

R_t,R₀ - сопротивления проводника соответственно при температурах t и t₀.

Сопротивления одних материалов практически не зависят от величины и направления тока и напряжения, а других — зависят. Зависимость напряжения от силы тока, протекающего по проводнику с некоторым сопротивлением, принято называть его вольтамперной характеристикой.

Индуктивность

Индуктивностью называют способность элемента накапливать энергию магнитного поля и индуцировать э.д.с. индукции при изменении потокосцепления. Величина индуктивности равна отношению потокосцепления к силе тока, протекающего по элементу цепи: L= . Единицей измерения индуктивности является генри (Гн): e = L ; [B] = L ; L = ; [Гн]= [Ом∙ с].

Индуктивный элемент приближенно является моделью катушки индуктивности. Значение индуктивности катушек зависит от их геометрических размеров, числа витков и магнитной проницаемости среды. Например, индуктивность кольцевой и цилиндрической катушек, если их длина больше диаметра, определяется по выражению L=μ₀ μ_{r ,} где S — площадь поперечного сечения катушки; μ = μ₀ μ_r - магнитная проницаемость среды: l - длина катушки.

Магнитная проницаемость μ неферромагнитных материалов почти постоянна и не зависит от напряженности поля, а ферромагнитных материалов μ > μ₀ зависит от напряженности поля. Поэтому для катушек с неферромагнитным сердечником характеристика линейна, а для катушек с ферромагнитным сердечником — нелинейна. В первом случае индуктивность постоянна, а во втором переменна. Соответственно этому различают линейные и нелинейные индуктивные элементы.

Емкость

Емкостью называют способность элемента цепи накапливать энергию электрического поля и создавать разность потенциалов при изменении электрического поля. Величина емкости элемента равна отношению заряда к напряжению на его зажимах: С= Единицей измерения емкости является фарада (Ф):

i= q=Cu; i = C ; А= С ; С = ; [Ф] = [ ] =[c Ом^-1].

Емкостной элемент является моделью конденсаторов. Численное значение емкости конденсаторов зависит от их геометрических размеров и диэлектрической проницаемости среды. Например, емкость плоского конденсатора определяется по формуле: С = где S - площадь поверхности обкладки конденсатора с одной стороны; d - расстояние между обкладками ε = ε_r ε₀ - диэлектрическая проницаемость диэлектрика.

Основной характеристикой конденсаторов является зависимость заряда q от напряжения U, называемая кулонвольтной характеристикой. В соответствии с используемым диэлектриком конденсаторы по виду куловольтных характеристик делятся на линейные и нелинейные. У первых емкость постоянна, а у вторых переменна. Объясняется это тем, что у линейных диэлектриков ε не зависит от напряженности поля, а у нелинейных диэлектриков ε > ε₀ и зависит от напряженности поля.

Источник напряжения и источник тока

При расчетах электрических цепей обычно реальные источники электрической энергии заменяют идеализированными активными элементами —источником напряжения (э.д.с.) или источником тока. Источником напряжения считается такой источник, у которого напряжение на выходных зажимах практически не зависит от силы тока, идущего от источника к приемнику, так как внутреннее сопротивление его мало. Источником тока считается такой источник электрической энергии, у которого сила тока практически не зависит от напряжения, создаваемого источником на зажимах приемника, так как внутренняя проводимость его мала, Параметрами источника напряжения являются э.д.с. Е и внутреннее сопротивление R ₀, а источника тока — сил тока I и внутренняя проводимость g ₀. Источник напряжения обозначается кружком со стрелкой внутри и буквой Е (рис.3, а), а источник тока — кружком с двойной стрелкой внутри и буквой I (рис.3, б). Направление э.д.с. и тока внутри источника принимается от низшего потенциала к высшему.

Источники напряжения и тока могут 6ыть линейными и нелинейными. Если так называемая внешняя характеристика, т.е. зависимость U=f(I) у источника напряжения и зависимость I=f (U) у источника тока представляют прямую линию, то источники считаются линейными. В случае, когда внешние характеристики криволинейны, то источники нелинейны.

а) б)

Рис.3. Источник напряжения (а) и источник тока (б)

Отметим, что при расчете цепей можно производить замену источника напряжения эквивалентным источником тока и наоборот. Условиями эквивалентности должны быть равенства напряжений при холостом ходе U _хх и сил токов при коротком замыкании I _кз. Так как параметрами источника напряжения являются Е и R ₀, а источника тока - I и g ₀, то условия эквивалентности запишутся:

а) у источника напряжения: U_хх=Е; I _кз = ;

б) у источника тока: U _хх= ; I _кз = I. Приравнивая правые части соответствующих равенств, найдем: Е = .

Таким образом, зная параметры источника напряжения (Е, R ₀) или источника тока (I, g ₀), можно определить эквивалентные параметры источника тока или источника напряжения.

Схемы электрических цепей

Электрические цепи бывают постоянного и переменного тока. Они, в свою очередь, бывают линейными и нелинейными, неразветвленными и разветвленными, простыми и сложными. Линейными цепями называются цепи, содержащими линейные элементы, а нелинейными цепями - цепи, содержащие один или более нелинейных элементов. Неразветвленными цепями называются цепи с последовательным соединением элементов, а разветвленными цепями – цепи с параллельным или сложным соединением элементов. Простыми цепями называют такие цепи, в которых элементы соединены последовательно, параллельно или смешанно. Сложными цепям называются цепи, в которых соединение элементов отличается от последовательно-параллельного соединения.

При расчете электрических цепей их изображают графически в виде так называемых эквивалентных электрических схем замещения, т. е. схем, показывающих соединение элементов и отображающих свойства цепей.

В этих схемах потребители изображаются в виде идеализированных элементов, сосредоточенных на отдельных участках цепи и приближенно эквивалентных действительным, а источники электрической энергии — в виде источников напряжения или источников тока. Причем каждую такую схему принято называть идеализированной цепью, или просто цепью. На рис.4 в качестве примера приведены схемы некоторых электрических цепей.

Электрические цепи и соответственно их схемы имеют ветви, узлы и контуры. Ветвью называется часть цепи образованная одним или несколькими последовательно соединенными элементами, по которым протекает ток одной силы. Узлом называется место соединения трех и большего числа ветвей. На схемах узел изображается точкой. Контуром называется любой замкнутый путь, проходящим по нескольким ветвям. В зависимости от числа контуров, имеющихся в цепи и соответственно в схеме, различают одноконтурные и многоконтурные цепи и схемы. На рис.4, б показаны ветви, узлы и контуры.

При расчете электрических цепей и анализе процессов, происходящих в них, задаются условными положительными направлениями э.д.с. и токов в элементах цепи и напряжений на их зажимах, обозначая их на схемах стрелками. Такие направления можно выбирать произвольно. Если условные и действительные направления э.д.с., токов и напряжений соответственно совпадают, то условные направления указанных величин выбраны правильно.

а) б)

Рис.4. Схемы электрических цепей: а) – простая; б) - сложная