Двойной и тройной интегралы. Определение и основные свойства

Пусть функция f(x,y) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости Оxy. Разобьем область D произвольным образом на n элементарных областей таких, что и (здесь символ обозначает также площадь области ), и пусть d _1, d ₂ ,…, d _n –диаметры частичных областей . Выберем в каждой элементарной области произвольную точку и умножим значение функции в точке на площадь этой области и составим сумму таких произведений:

Cумма (1) называется интегральной суммойдля функции по области D. Обозначим через , если , то и .

Определение. Двойным интегралом от функции по области D называется конечный предел интегральной суммы (1) при , не зависящий от способа разбиения области D на части и выбора точек .

Двойной интеграл обозначается символом

. (2)

Если >0 в области D, то двойной интеграл равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси О z, и областью D плоскости Оxy.

В декартовых координатах элемент площади , тогда двойной интеграл записывают в виде

.