Интегральная сумма. Определенный интеграл

Пусть функция f(x) определена на сегменте [ a,b ] (где а<b). Выполним следующие действия.

1. Сегмент [ a,b ] разобьем точками на n частичных сегментов . Длину каждого частичного сегмента обозначим

2. Выберем в каждом сегменте произвольную точку , вычислим значение функции в этой точке и составим сумму

Число называется интегральной суммой функции f(x), которая зависит от способа разбиения сегмента [ a,b ] на части и выбора промежуточных точек . Обозначим и дадим определение.

Определение. Если существует предел интегральной суммы при n ® ¥ и l® 0, не зависящий от способа разбиения сегмента [ a,b ] на части и выбора промежуточных точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по сегменту [ a,b ] и обозначается следующим образом:

Таким образом,

.

Числа a и b называются соответственно нижней и верхней границами интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования.

Функция f(x) называетсяинтегрируемой на сегменте [ a,b ], если для нее существует определенный интеграл .

Теорема существования определенного интеграла.

Всякая непрерывная на сегменте [ a,b ] функция интегрируема на этом сегменте.

Геометрический смысл определенного интеграла.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f(x), где f(x) ³ 0 для всех х Î[ a,b ], численно равна определенному интегралу от функции f(x), взятому по сегменту [ a,b ].