Понятие об устойчивости. Задача Эйлера

Из теоретической механики известно, что равновесие абсолютно твердого тела может быть устойчивым (рис. 9.1,а) безразличным (рис. 9.1,б) и неустойчивым (рис 9.1,в и г).

а б в г

Рис. 9.1

Равновесное состояние деформируемой системы, например, стержня также может быть устойчивым (рис. 9.2,а), безразличным (критическим) (рис. 9.2,б) и неустойчивым (рис. 9.2,в).

а б в

Рис. 9.2

Нагрузка, при которой начальная (исходная) форма равновесия стержня перестает быть устойчивой, называется критической и обозначается F_кр.

Приложение к стержню силы

или вызывает его продольный изгиб.

Явление перехода системы от одного равновесного состояния к другому равновесному состоянию, называется потерей устойчивости системы.

В некоторых случаях при потере устойчивости, система, пере­ходя в новое устойчивое равновесное состояние, продолжает вы­полнять свои функции. Однако в подавляющем большинстве случа­ев, потеря устойчивости системы сопровождается возникновением больших перемещений, пластических деформаций или ее полным разрушением. Поэтому сохранение исходного (расчетного) равно­весного состояния системы является важной задачей и одной из основных проблем сопротивления материалов.

Условие устойчивости имеет вид:

где φ – коэффициент снижения допускаемых напряжений,

Величина коэффициента снижения допускаемых напряжений φ зависит от материала и гибкости стержня и сведена в таблицы (сортамент).

Величина называется гибкостью стержня и зависит только от геометрических размеров и способа закрепления стержня.

где i_min - радиус инерции сечения;

,

Fкр

Fкр

Fкр

Fкр

Fкр

m=1

m=2

m=0,7

m=0,5