Лекция № 13-15

Тема «Интегральное исчисление»

Цель: раскрытьпонятия первообразной и неопределенного интеграла, рассмотреть таблицу основных интегралов и методы интегрирования.

Ключевые слова: первообразная, неопределенный интеграл.

Вопросы:

1.Понятия первообразной и неопределенного интеграла.

2.Свойства неопределенного интеграла.

3.Геометрический смысл неопределенного интеграла.

4.Таблица основных интегралов.

5.Методы интегрирования. Интегрирование разложением.

6.Непосредственное интегрирование.

7. Интегрирование методом замены переменной (или интегрирование подстановкой).

8.Интегрирование по частям.

9.Интегрирование некоторых тригонометрических функций.

10.Интегрирование простейших рациональных дробей.

1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла

Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении по данной функции ее производной или дифференциала, т.е. дана функция F(x), найти F`(x)=f(x) и dF(x)=F`(x)dx=f(x)dx (1).

Многочисленные вопросы науки и техники приводят к постановке обратной задачи: для данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой равнялась бы заданной функции f(x), т.е. F`(x)=f(x) или dF(x)=f(x)dx (2).

Определение. Первообразной функцией от данной функции f(x) называется функция, производная которой равна данной функции или дифференциал которой равен выражению f(x)dx.

Теорема. Любая непрерывная на сегменте функция имеет на этом сегменте первообразную.

Если функция F(x) – первообразная от функции f(x) а сегменте a ≤ x ≤ b, то всякая другая первообразная от f(x) отличается от F(x) на постоянное слагаемое, т.е. может быть представлена в виде F(x)+С, где С – постоянная.

Определение. Если F(x) – одна из первообразных для функции f(x), то выражение F(x)+C, где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом.

Неопределенный интеграл обозначается символом

(3)

f(х) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением.

Действие отыскания неопределенного интеграла – нахождение всех первообразных от данной функции называется интегрированием этой функции.

Операция интегрирования функции является обратной для операции дифференцирования функции.