Геометрический смысл дифференциала

Пусть фукция y=f(x) дифференцируема при некотором значении х ₀. Следовательно, в точке х существует конечная производная По определению предела

Эта величина называется бесконечно малой при Найдем : .

y’ от не зависит, она остается постоянной при

Если то - является бесконечно малой величиной того же порядка малости, что и .

- бесконечно малая более высокого порядка малости, чем первое слагаемое. Поэтому , величину () называют главной, линейной относительной частью приращения функции; чем меньше , тем большую долю приращения составляет это выражение.

Поэтому при малых значениях приращение функции можно заменить , т.е.

и

Эту главную часть приращения функции называют дифференциалом функции в точке х и обозначают dy или df(x), следовательно или

Дифференциал равен произведению ее производной на приращение независимой переменной.

f(x)=x, dx=x’ = , ,

Рассмотрим график дифференцируемой функции y=f(x). Пусть М и М’ – точки графика, имеющие соответственно координаты М(х; у) и

y

M¹

∆y

N dy

∆x

М Р

x x+∆x x

MN- касательная к графику y=f(x).

При изменении аргумента от x до ордината точки M графика функции получит приращение , а ордината касательной -приращение ;

, ,

-дифференциал функции.

Таким образом, дифференциал функции y=f(x) равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику этой функции в точке (x;y) при изменении x на величину . В этом и состоит геометрический смысл дифференциала. , .

Свойства дифференциала. Инвариантность