Задача на условный экстремум

Заметим, что условие (3.6) удалось получить благодаря возможности придавать переменной х приращения двух знаков, откуда и возникли два неравенства (3.5). Если допустимая область значений х ограничена неотрицательными значениями х ³ 0, то внутри области, где х > 0, справедливость условия (3.6) сохраняется, так как там допустимы приращения обоих знаков. На границе области х ³ 0, где х = 0, допускается только положительное приращение Δх > 0, можно говорить только об односторонней производной, и из (3.6) следует следующее необходимое условие максимума:

¶ F(х _опт)/ ¶ х_j ≤ 0.

Необходимое условие минимума на границе области х_j = 0 запишется в виде

¶ F(х _опт)]/ ¶ х_j ³ 0.

При определении условного экстремума функции, когда требуется определить максимум (или минимум) функции F(х) при ограничивающих условиях

φ_i(х) = b_i, i = 1,..., m,

т.е.

F(x) = max;

φ_i(х) = b_i,

используется также метод множителей Лагранжа, который, так же как в случае классического вариационного исчисления (см. юниту 1), заключается во введении функции Лагранжа

(3.7)

Ф = F(x) + [b_i – φ_i(х)],

где – неопределенные множители Лагранжа.

Полагая, что функция является частным случаем функционала, получаем, что необходимые условия экстремума находятся прямым дифференцированием соотношения (3.7) и записываются в виде

(3.8)

¶ Ф/ ¶ x_j = ¶ F/ ¶ x_j + ∑λ_i(¶ φ_i/ ¶ х_j) = 0, j = 1,..., n;

(3.9)

¶ Ф/ ¶ λ_i = b_i – φ_i(х) = 0, i = 1,..., m.

Если ввести в рассмотрение векторы

λ = (λ₁,..., λ_m);

φ = (φ₁,..., φ_m);

b = (b₁,..., b_m);

gradf(x) = { ¶ f/ ¶ x₁, ¶ f/ ¶ x₂,..., ¶ f/ ¶ x_n},

соотношения (3.8) и (3.9) перепишутся как условия Лагранжа:

gradФ = gradF – λgradφ = 0;

b – φ = 0,

где равенство нулю векторов понимается покомпонентно.

В случае n = 2 и m = 1 геометрическая задача об отыскании условного экстремума сводится к отысканию точки касания А кривой φ = b к одной из кривых постоянного уровня F = const.