Лінійна і квадратична локальні інтерполяції

Найпростішим видом локальної інтерполяції є лінійна інтерполяція. Вона полягає в тому, що задані точки з'єднуютьсяпрямолінійними відрізками, а функція апроксимується ламаною з вершинами в даних точках.

Для і-го інтервалу можна написати рівняння прямої, що проходить через точки та у вигляді:

.

Звідси

(5.2)

Для визначення наближеного значення в середині будь-якого інтервалу, спочатку по значенню x визначають інтервал, а потім підставляють x в рівняння цього інтервалу.

Для випадку квадратичної інтерполяції як інтерполяційний многочлен на відрізку приймається квадратний многочлен .

Тут невідомими є вони знаходяться з умови проходження многочлена через три точки

. (5.3)

Інтерполяція для будь-якої точки х з інтервалу проводитьсяпо трьох найближчихдо неї вузлах.

На рис. 5.2 показано графіки локальних (лінійної та квадратичної) інтерполяційних функцій.

Рис. 5.2 – Лінійна та квадратична інтерполяція

Приклад: Знайти наближене значення функції при х=0,32, якщо відома таблиця її значень:

х	0,15	0,30	0,4	0,55
у	2,17	3,63	5,07	7,78

а) При лінійній інтерполяції х=0,32 знаходиться між вузлами0,3 і 0,4. В цьому випадку

При маємо (рис. 5.3):

.

Рис. 5.3 – Лінійна локальна інтерполяція

б) При квадратичній інтерполяції складемо систему рівняньдля найближчих до точки х=0.32 вузлів:

відповідно

Маємо систему рівнянь:

Розв’язуючи цю систему, знаходимо:

Отже, інтерполяційна квадратична функція:

Тоді шукане значення в точці х=0,32 буде (рис. 5.4):

.

Рис. 5.4 – Квадратична локальна інтерполяція