Вариация функционала

Обозначим бесконечномерное пространство непрерывно дифференцируемых до -го порядка включительно на отрезке функций. . Непосредственно по определению проверяется, что оно является нормированным в топологии, задаваемой нормой .

Элементы этого пространства иногда удобно называть точками.

ЗАМЕЧАНИЕ В соответствии с определением имеют место такие связи

,

.

Опр Функционал , определенный в некоторой окрестности точки , называется непрерывным в точке , если .

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Линейный функционал непрерывен в каждой точке (то есть непрерывен на всем пространствеили просто непрерывен), если он непрерывен хотя бы в одной точке.

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Линейный функционал непрерывен тогда и только тогда, когда .

Опр Пусть функционал определен в -окрестности точки . Если его приращение представимо в виде , где - линейный непрерывный функционал на , а функционал обладает свойством , то величина называется вариацией функционала в точке , а - дифференцируемым в точке .

ЗАМЕЧАНИЕ 1 Пусть функционал определен в некоторой окрестности точки . Тогда .

Фиксируем , и положим . Тогда

ЗАМЕЧАНИЕ 2 Имеет место равенство , то есть вариация функционала есть производная по направлению в точке (производная Гато)

Опр Пусть функционал определен в окрестности точки . имеет слабый максимум в точке (сильныймаксимум в точке ), если

.

Аналогично определяется слабый минимум (сильный минимум).

ЗАМЕЧАНИЕ Точка сильного экстремума необходимо является и точкой слабого экстремума, так как .

ТЕОРЕМА 16.1 Если функционал достигает экстремального значения в точке и дифференцируем в , то .