Синтез НРФ с использованием окон

При синтезе НРФ возникает задача определения весовых коэффициентов так, чтобы заданная желаемая передаточная функция хорошо достигалась «по возможности». Это «по возможности» хорошо достигается, если аппроксимировать заданную передаточную функцию по методу наименьших квадратов.

Для определения коэффициентов необходимо:

1. Задать вид ПФ идеального фильтра (желаемую передаточную функцию) :

Рис 3. Передаточная функция идеального фильтра.

2. Помнить о свойствах ДПФ – периодичности:

Рис 4. Передаточная функция цифрового фильтра.

3. Т.к. аппроксимация передаточной характеристики производится рядом Фурье, то нужно помнить о его особенностях: с ростом членов ряда ошибка аппроксимации уменьшается:

Рис 5. Передаточная функция реализованного фильтра.

4. Метод наименьших квадратов Гаусса служит критерием аппроксимации:

. (8)

5. Погрешность аппроксимации минимальна в среднем квадратическом, если весовые коэффициенты искомого фильтра являются коэффициентами разложения в ряд . Во временной области разложение в ряд Фурье выглядит так:

. (9)

Коэффициенты этого ряда вычисляются по уравнению:

. (10)

В частотной области передаточная функция совпадает с ДПФ весовых коэффициентов фильтра.

С учетом (4) получаем:

. (11)

Разобьем данное выражение на два интеграла с нижним пределом .

. (12)

Если - четная, , то

. (13)

Если - нечетная, , то

. (14)