Обобщенный ряд Фурье и системы базисных функций

Сигнал на интервале может быть записан в форме обобщенного ряда Фурье:

. (1)

Если – вектор, то последнее выражение можно интерпретировать как разложение по некоторому базису, а коэффициенты могут рассматриваться как проекции вектора на координатные оси, заданные системой функций , образующих базис.

Для того чтобы разложение было возможно, исходный сигнал и система функций должны удовлетворять определенным условиям:

Во-первых, сигнал должен принадлежать множеству квадратично-интегрируемых на отрезке сигналов:

. (2)

Такое множество сигналов образует пространство сигналов . Отрезок интегрируемости может быть как конечным, так и бесконечным интервалом. Пространство замкнуто относительно линейных операций, т.е. если и , то и . Поэтому его называют линейнымвекторным пространством. Сигналы и рассматриваются как векторы в линейном пространстве, для которых определено скалярное произведение:

(3)

и норма вектора (длина вектора): . (4)

Для скалярного произведения справедливо соотношение, называемое неравенством Коши-Буняковского:

. (5)

Отношение определяет косинус угла между сигналами (векторами).

Во-вторых, базисные функции должны быть попарно ортогональнымы, т.е.

. (6)

Если базисные функции системы имеет единичную норму, то они образует ортонормированный базис.

При выполнении указанных условий коэффициенты обобщенного ряда Фурье находятся следующим образом:

. (7)

Обобщенный ряд Фурье содержит бесконечное число членов. На практике приходится ограничивать ряд конечным числом членов . Это приводит к появлению ошибки аппроксимации: .

Обычно рассматривают норму ошибки . (8)

Одним из важных свойств базисных функций является полнота. Базисные функции образуют полную систему, если норма ошибки с ростом уменьшается. Наиболее известной является тригонометрическая система базисных функций.

Интерес к поиску других систем функций обусловлен тем, что норма ошибки аппроксимации для иных систем может стать меньше при одном и том же числе членов ряда. Выбор базиса обусловлен спецификой решаемой задачи.

φ1(t)

Например, система мультипликативно-ортогональных функций:

φN(t)

φ2(t)

Рис 1. Система мультипликативно-ортогональных функций.

Если два прямоугольных импульса не перекрываются во времени, такая система ортогональна:

и . (9)

Коэффициенты ряда Фурье:

. (10)

Рассматриваемая система мультипликативно-ортогональных функций является полной только для ступенчатых функций с шириной ступени .