Гамма-үлестірімі

Тығыздық функциясы (3.17) өрнегімен берілген және барлық

(3.17)

параметрлері оң, яғни a >о, к> о, х≥о η кездейсоқ шамасы гамма үлестіріміне бағынады. Бұл кездейсоқ шаманың математикалық үміті мен дисперсиясын келтірейік:

Әртүрлі кездейсоқ құбылыстарды бейнелейтін көптеген теріс емес кездейсоқ шамаларды гамма үлестірімінің көмегімен сипаттауға болады. Шынымен, α мен k параметрлері гамма үлестірімі заңының сұлбасы мен масштабын анықтайтын болғандықтан, бұл параметрлердің мөлшерлерін таңдау арқылы тығыздық функциясының түрін күрделі (3.4. сурет) өзгертуге болады. Сондықтан бұл заң, көптеген қолданбалы зерттеулерде пайдалана алатын, универсалды үлестірім ретінде танылмалы.

3.4-сурет

Гамма - үлестірімі параметрлерінің мәнін анықтау үшін мына өрнектерді қолдануға болады:

және

Гамма үлестірімінің тағы бір ерекшелігі, параметрлерінің мәнін өзгерту арқылы осы үлестірімнің жекеленген жағдайы ретінде бірнеше пайдалы басқа үлестірім заңдарын алуға болады. Мысалы, k=1 тең, ал α - тұрақты сан болса, гамма үлестірімінің көмегімен элспоненциялдық заңға бағынышты кездейсоқ шама модельденеді. Егер к-п бүтін санды мәні болса, онда гамма үлестірімі к- ретті Эрланг үлестірімі деп аталады. Ары қарай, егер α=1 болса, онда к өскен сайын гамма үлестірімі калыпты үлестірімге жақындайды. Ал k=l /2 және α = 2 (l -еркіндік дәрежесінің саны) деп алып, к² үлестірімді кездейсоқ шаманы модельдеуге болады.

Гамма үлестірімімен сипатталатын η кездейсоқ шамасының нақтыламалары

формуласымен есептеледі. Бұл формула, гамма тығыздық функциясының к параметрін бірге тең деп қарастырғанда, кері функция әдісі арқылы алынған

формуласының к>1 болғандағы толықтырылмасы болады. Гамма-үлестірімін модельдейтін алгоритм келесі қадамдардан тұрады.

1-қадам. i=1 болсын.

2-қадам. s = 1, j = 1 болсын.

3-қадам. Базалық ξ кездейсоқ шамасының нақтыламасын табу.

4-қадам. s = s*z және j = j+1 екенін тағайындау керек.

5-қадам. j>k екенін тексеру керек. Бұл шарт орылдалмаған жағдайда 3-і қадамға қайтамыз.

6-қадам. нақтыламасын есептеу.

7-қадам. Есептеудің аяқталу, яғни j>n шартын тексеру. Бұл шарт орындалмаған жағдайда 2-ші қадамға оралу.

8-қадам. { } баспалау.