Ordm;. Ортогональные преобразования

Определение 6: квадратная матрица А называется ортогональной, если выполняется равенство:

(7)

Это соотношение равносильно любому из следующих:

(8)

где – единичная матрица, и – соответственно обратная и транспонированная для .

Если , , то из равенства (8) получаем соотношения:

(9)

Эти равенства показывают, что при транспонировании ортогональной матрицы получается также ортогональная матрица.

Так как , то , то есть – определитель ортогональной матрицы может быть равен +1 или -1.

Замечание 3: формулы перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису имею т ортогональную матрицу.

Определение 7: линейное преобразование евклидова пространства , называется ортогональным, если сохраняет длину любого вектора: .

Теорема 2: ортогональное преобразование сохраняет скалярное произведение векторов.

□ Для любых векторов и имеем:

или (10)

Аналогично:

(11)

Но - линейное преобразование, поэтому , причём из определения (7) имеем:

, , .

Равенство (11) перепишем в виде:

. (12)

Сравнивая (10) и (12), имеем требуемое: ■

Следствие 1: ортогональное преобразование сохраняет углы между векторами.

Следствие 2: ортогональное преобразование переводит ортонормированный базис также в ортонормированный базис.

Замечание 4: справедливы следующие теоремы:

Теорема 3: для того чтобы линейное преобразование было ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы его матрица относительно какого-нибудь ортонормированного базиса была ортогональной.

Теорема 4: множество ортогональных преобразований евклидова векторного пространства является группой.

Определение 8: ортогональным преобразованием называется линейное преобразование, сохраняющее скалярное произведение векторов, или изоморфное отображение евклидова векторного пространства на себя.