Аффинная система координат

1º. Выберем в пространстве A_n точку O и произвольный базис векторного пространства V_n, то есть такую упорядоченную систему векторов, что выполнены два условия:

а) система линейно независима;

б) любой вектор из V_n является линейной комбинацией векторов данной системы (через них линейно выражается).

Известно из курса алгебры, что в пространстве V_n существуют хотя бы один базис из n векторов и любой его базис состоит также из n векторов.

Определение 1: совокупность точки O и базиса называется аффинной системой координат или аффинным репером (репер (лат.) - метка) пространства и обозначается символом или короче .

Точку O назовем началом координат, а векторы - координатными векторами. Оси проходящие через точку O в направлении векторов , называют координатными осями и обозначают

Пусть M – произвольная точка пространства A_n, в котором задан репер . Разложим радиус-вектор точки M по базису :

(1)

(такое разложение всегда существует и единственно = ТЕОРЕМА)

Определение 2: числа называются координатами точки M в системе координат . Записывают или короче .

Таким образом, координатами точки M в репере называются координаты радиус-вектора этой точки в базисе .

(2)

Замечание 1: так как любой вектор имеет в данном базисе вполне определенные координаты, то координаты точки в данной системе координат определенны однозначно (установлена биекция между точками пространства A_n и упорядоченными наборами из n действительных чисел).

Теорема 1: координаты вектора равны разностям соответствующих координат точек N и M.

□ Пусть M() и N() в репере , тогда по аксиоме треугольника II , откуда имеем ■