Умножение матриц

Умножение матрицы на матрицу определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Тогда произведение матриц , каждый элемент матрицы равен сумме, произведений элементов -ой строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы : для .

(7)

Пусть - заданная матрица коэффициентов, - неизвестная матрица (вектор-столбец), - матрица свободных членов (вектор-столбец).

Тогда, матричная запись является системой уравнений, и имеет вид:

.

Условие, когда произведение матриц определено, а также размеры произведения двух матриц удобно изобразить при помощи схематического рисунка:

Если справедливо равенство , то такие матрицы называются коммутирующими.

Пример 1.10. Например, матрицы и

коммутирующие. Действительно:

и ,

т.е. справедливо равенство .