Логические основы ЦУ

В результате выполнения арифметических операций получают новое двоичное число. Устройство, реализующее действия над двоичными числами, можно рассматривать как функциональный преобразователь. Если рассматривать отдельные разряды исходных чисел и конечных результатов вычислений в качестве аргументов и функций, то устройство, осуществляющее арифметическое действие имело бы большое количество входов и выходов. Причем на каждый вход поступал бы один разряд исходного числа (0 или 1), а с каждого выхода снимался бы один двоичный разряд результата (0 или 1).

Для анализа и синтеза таких устройств необходимо иметь математический аппарат, позволяющий оперировать с двоичными переменными. Основы такого аппарата были впервые сформированы в середине прошлого века английским математиком Д.Булем. Переменные величины и функции от них, которые могут принимать только два значения 0 или 1, носят название булевских или логических переменных и функций.

Функциями алгебры логики (ФАЛ) называются функции, определенные на наборе двоичных переменных (, ,... ) и сами принимающие в качестве своих значений либо нуль, либо единицу. Задать ФАЛ - это значит определить ее значение (0 или 1) на каждом возможном наборе значений аргументов. Количество различных наборов аргументов равно количеству различных чисел, которые могут быть изображены с помощью n разрядов, т.е. 2. Так как на каждом наборе аргументов ФАЛ может принимать одно из двух значений, то количество различных ФАЛ от п аргументов конечно и равно Ниже рассматриваются всевозможные ФАЛ от n аргументов для n=0, 1, 2.

1. n=0. Существуют =2 различные ФАЛ; f1=0 - константа нуль, f2=1 - константа единица.

2. n=1. Существуют =4 различные ФАЛ.

Их можно определить с помощью табл. 2.1 в левой части которой указаны возможные наборы аргументов, а в правой значения ФАЛ на каждом наборе. Такая таблица называется таблицей истинности ФАЛ.

Кроме уже известных ФАЛ f1 и f2 в табл. 2.1. определены еще две ФАЛ: f3=x - функция тождества; f4= - функция отрицания (читается f равно "не х").

Таблица 2.1

х	f1	f2	f3	f4

3. n=2. Существуют =16 различных ФАЛ, которые задаются их таблицей истинности (табл. 2.7.). Первые шесть ФАЛ табл. 2.2. уже известны: f1 - константа 0; f2 константа 1; f3= ; f4= ; f5= ; f6= . Функция f₇ называется дизъюнкцией, обозначается f₇= \/ или f₇= + ; дизъюнкция принимает значение 1,если хотя бы один.из аргументов paвен 1.

Таблица 2.2.

x1

x2

f1

f2

f3

f4

f5

f6

f7

f8

f9

f10

f11

f12

f13

f14

f15

f16

Функция f8 называется конъюнкцией, обозначается f8= /\ ; конъюнкция принимает значение 1, если оба аргумента равны 1. Функция f8 называется эквивалентностью (равнозначностью) и обозначается f9= ~ ; принимает значение 1, если аргументы равны. Функция f10 называется сложением по модулю два и обозначается f10= Å ; принимает значение 1 на тех наборах, где значения аргументов не совпадают. Функция f11 называется импликацией x1 в x2 обозначается f11= ® . Функция f12 называется импликацией x2 в х1 и обозначается f12= ® . Функция f13 называется функцией Вебба (стрелка Пирса) и обозначается f13= ¯ . Функция f14 называется функцией Шеффера и обозначается f11= / . Функции f15 и f16 специальных названий не имеют.

Перечисленные 14 ФАЛ называются элементарными и имеют особое значение в алгебре логики. Количество различных ФАЛ с увеличением n растет очень быстро. Уже для n=4 существуют 5536 различных ФАЛ.