Числовые характеристики произвольного числа случайных величин

Основными числовыми характеристиками, с помощью которых может быть охарактеризована система случайных величин , являются следующие:

1) математические ожидания случайных величин, входящих в систему

,

которые в совокупности определяют математическое ожидание –мерного случайного вектора;

2) дисперсии

случайных величин, входящих в систему;

3) корреляционные моменты каждой пары из случайных величин

,

характеризующие попарно корреляцию всех случайных величин, входящих в систему.

Зная корреляционные моменты, можно найти коэффициенты корреляции

,

которые характеризуют степень связи между каждой парой случайных величин.

Так как дисперсия каждой из случайных величин системы есть не что иное, как частный случай корреляционного момента, а именно: корреляционный момент величины и той же величины

,

то все корреляционные моменты и дисперсии располагают в виде прямоугольной таблицы (матрицы)

,

которая называется корреляционной матрицей системы случайных величин.

Из определения корреляционного момента следует, что . Это означает, что элементы корреляционной матрицы, расположенные симметрично по отношению к главной диагонали, равны. В этой связи часто для простоты в корреляционной матрице заполняют только её половину (правый верхний треугольник):

.

Если случайные величины системы некоррелированы, имеем при . Следовательно, корреляционная матрица системы некоррелированных случайных величин имеет вид:

.

Такая матрица, как вам известно, называется диагональной. Вместо корреляционной матрицы часто используют нормированную корреляционную матрицу. Матрица, элементами которой являются коэффициенты корреляции, называется нормированной корреляционной матрицей. Все элементы главной диагонали нормированной корреляционной матрицы равны единице. Нормированная корреляционная матрица имеет вид:

.

ЗАДАЧИ

(рассмотреть самостоятельно)

Задача 1. Закон распределения двумерной дискретной случайной величины задан таблицей

Y X	– 4	– 2
	0,1	0,1	0,2
	0,1	0,2	0,1
		0,1	0,1

Найти:

- собственные законы распределения случайных величин и ;

- математические ожидания ;

- дисперсии ;

- корреляционный момент ;

- коэффициент корреляции ;

- закон распределения случайной величины при условии, что случайная величина принимает своё наименьшее значение.

Решение. Складывая вероятности по строкам, получим закон распределения случайной величины в виде ряда распределения

	0,4	0,4	0,2

Складывая вероятности по столбцам, получим закон распределения случайной величины в виде ряда распределения

	– 4	– 2
	0,2	0,4	0,4

Найдём математические ожидания и дисперсии составляющих:

Найдём корреляционный момент и коэффициент корреляции :

Найдём закон распределения случайной величины при условии, что случайная величина принимает своё наименьшее значение, то есть при условии, что . Искомый закон распределения, как ранее отмечалось, определяется совокупностью условных вероятностей , где

Следовательно, искомый закон распределения имеет вид:

	0,5	0,5

Задача 2. Вне области плотность распределения двумерной случайной величины равна 0; в области плотность распределения .

Найти:

- коэффициент ;

- вероятность , где ;

- одномерные плотности распределения ;

- математические ожидания ;

- дисперсии ;

- корреляционный момент ;

- коэффициент корреляции .

Решение. Для нахождения параметра А воспользуемся формулой

.

Тогда

Получим:

Найдём теперь вероятность попадания двумерной случайной величины в плоскую область G:

Далее, найдём одномерные плотности распределения:

Итак:

Найдём математические ожидания и дисперсии составляющих [23]:

Далее

Тогда

Так как , то нетрудно вычислить

.