Закон распределения вероятностей системы случайных величин

Законом распределения вероятностей системы случайных величин называется соответствие, устанавливающее связь между областями возможных значений данной системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.

Так же, как и для одной случайной величины, закон распределения системы случайных величин может быть задан в различных формах. Рассмотрим таблицу распределения вероятностей системы двух дискретных случайных величин. Пусть и – дискретные случайные величины, возможные значения которых , где . Тогда распределение системы таких случайных величин может быть охарактеризовано указанием вероятностей того, что случайная величина примет значение и одновременно с этим случайная величина примет значение . Вероятности фиксируются в таблице

			...
			...
			...
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
			...

Такая таблица называется таблицей распределения вероятностей системы двух дискретных случайных величин с конечным числом возможных значений. Все возможные события при составляют полную группу несовместных событий, поэтому

.

При этом:

;

.

3. Функция распределения [19]

Функцией распределения вероятностей системы двух случайных величин называется функция двух аргументов, равная вероятности совместного выполнения двух неравенств и , то есть .

Геометрически функцию распределения системы двух случайных величин можно интерпретировать как вероятность попадания случайной точки в левый нижний бесконечный квадрант с вершиной в точке плоскости (см. рис.).

Сформулируем основные свойства функции распределения вероятностей системы двух случайных величин (без доказательства):

1.

2. ; (или ).

3. (или ).

4. ().

5. Функция распределения является неубывающей функцией по каждому из своих аргументов, то есть:

, если ;

, если .

6. Вероятность попадания случайной точки в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям (см. рис.) вычисляется по формуле:

=

= ,

где .

4. Плотность распределения вероятностей системы двух случайных величин [20]

Предположим, что функция распределения всюду непрерывна и дважды дифференцируема[21] (за исключением, быть может, конечного числа кривых). Тогда, смешанная частная производная функции

.

Функция называется плотностью распределения (или, дифференциальной функцией распределения) системы непрерывных случайных величин .

Геометрически эту функцию можно истолковать как поверхность, которую называют поверхностью распределения.

Зная плотность распределения , можно определить вероятность попадания случайной точки в произвольную область :

.

Используя последнюю формулу, выразим интегральную функцию распределения вероятностей системы двух непрерывных случайных величин через плотность распределения :

.

Рассмотрим некоторые свойства плотности распределения системы двух непрерывных случайных величин:

1. ;

2. , если случайная величина распределена на всей координатной плоскости (если же распределена в некоторой плоской области , то )

ПРИМЕР. Пусть плотность распределения системы двух случайных величин задана выражением:

.

Найти параметр А. Определить функцию распределения и вероятность попадания случайной точки в прямоугольник с вершинами: , .

Решение. Использовав свойство 2 плотности распределения, найдём постоянную величину А:

Определим теперь интегральную функцию распределения:

.

Таким образом, нетрудно теперь найти вероятность попадания случайной точки в заданный прямоугольник :

.