Дифференциальные и интегральные зависимости между q, Q и M

Установим некоторые зависимости, знание которых облегчит построение эпюр и даёт возможность в известной мере контролировать их правильность.

Рассмотрим балку с произвольной нагрузкой (рис.5.4,а).

а б

Рис.5.4

Выделим малый элемент балки O₁O₂ длиной dx и рассмотрим его равновесие (рис.5.4,б). В пределах малого участка распределённую нагрузку можно считать постоянной q (x) = const = q. Поскольку в общем случае Q и M меняются вдоль оси балки, в сечении O₁ будем иметь Q(x) и M(x), а в сечении O₂: Q(x) + dQ(x) и M(x) + dM(x). Как всегда, изображаем их положительно направленными. Из условия равновесия элемента O₁O₂ получим:

∑y = 0: Q + qdx – (Q + dQ) = 0,

∑M₀₂ = 0:

Первое уравнение даёт условие

. (5.3)

Из второго уравнения, пренебрегая членом , найдём:

. (5.4)

Из формул (5.3) и (5.4) следует, что

. (5.5)

Выражения (5.3) – (5.5) называют дифференциальными зависимостями при изгибе. Из них можно получить интегральные зависимости

Q = ∫qdx + Q₀, (5.6)

M = ∫Qdx + M₀. (5.7)

где Q₀ и M₀ - постоянные интегрирования (значения сосредоточенной силы и сосредоточенного момента в начале участка).

Использование интегральных зависимостей позволит упростить и ускорить построение эпюр.